Определение предела.

Теоретические сведения к практической работе

Определение предела.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки .

Определение. Число А называется пределом функции в точке (или при ), если для любого положительного найдется такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

Записывают .

Аналогично , если при > N.

Условно записывают , если > M при , где М – произвольное положительное число. В этом случае функция называется бесконечно большой при .

Если , то функция называется бесконечно малой при .

Если и , то употребляют запись ; если и , то употребляют запись .

Числа и называются соответственно левым и правым пределом функции в точке .

Для существования предела функции при необходимо и достаточно, чтобы .

2. Теоремы о пределах:

Теорема 1. , где .

Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции и имеют конечные пределы при .

Теорема 2.

Теорема 3.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Следствие 2.Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

Теорема 4. .

3. Замечательные пределы:

Первый замечательный предел:

.

Второй замечательный предел (число е = 2, 718…):

или

При решении примеров полезно иметь в виду следующие равенства: