Непрерывность функций.

Функция называется непрерывной в точке , если:

1) функция определена в точке и в ее окрестности;

2) существует предел (это подразумевает существование и равенство односторонних пределов и )

3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Обозначая (приращение аргумента) и (приращение функции), условие непрерывности можно записать так: , т.е. функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области (интервала, сегмента и т.п.), то она называется непрерывной в этой области.

Точка , принадлежащая области определения или являющаяся граничной для этой области, называется точкой разрыва, если в этой точке нарушается условие непрерывности функции.

Если существуют конечные пределы и , причем не все три числа равны между собой, то называется точкой разрыва I рода.

Точки разрыва I рода подразделяются в свою очередь, на точки устранимого разрыва (когда , т.е. когда левый и правый пределы в точке равны между собой, но не равны значению функции в этой точке) и на точки скачка (когда , т.е когда левый и правый пределы функции в точке различны); в последнем случае разность называется скачком функции в точке .

Точки разрыва не являющиеся точками разрыва I рода, называются точками разрыва I I рода. В точках разрыва II рода не существует хотя бы один из односторонних пределов.

Сумма и произведение конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. Частное от деления двух непрерывных функций есть функция непрерывная во всех точках, где делитель не равен нулю.