Пример №3

Исследовать функцию на непрерывность и построить график функции

.

Решение: очевидно, что все три части функции непрерывны на соответствующих интервалах, поэтому осталось проверить только две точки «стыка» между кусками. Сначала выполним чертёж на черновике. Единственное, необходимо аккуратно проследить за нашими особенными точками: в силу неравенства значение принадлежит прямой , и в силу неравенство значение принадлежит параболе :

Оформим решение. Для каждой из двух «стыковых» точек стандартно проверяем 3 условия непрерывности:

I) Исследуем на непрерывность точку

1) – функция определена в данной точке.

2) Найдём односторонние пределы:

Односторонние пределы конечны и различны, значит, функция терпит разрыв 1-го рода со скачком в точке .

Вычислим скачок разрыва как разность правого и левого пределов:
, то есть, график рванул на одну единицу вверх.

II) Исследуем на непрерывность точку

1) – функция определена в данной точке.

2) Найдём односторонние пределы:

– односторонние пределы конечны и равны, значит, существует общий предел.

3) – предел функции в точке равен значению данной функции в данной точке.

Таким образом, функция непрерывна в точке по определению непрерывности функции в точке.

На завершающем этапе переносим чертёж на чистовик, после чего ставим финальный аккорд:

Ответ: функция непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки , в которой она терпит разрыв первого рода со скачком.

Содержание практической работы.

Вариант 1 1. Вычислить предел функции: . 2. Вычислить предел функции: . 3. Вычислить предел функции: . 4. Вычислить предел функции: . 5. Исследовать функцию на непрерывность и построить график функции:	Вариант 2 1. Вычислить предел функции: . 2. Вычислить предел функции: . 3. Вычислить предел функции: . 4. Вычислить предел функции: . 5. Исследовать функцию на непрерывность и построить график функции
Вариант 3 1. Вычислить предел функции: . 2. Вычислить предел функции: . 3. Вычислить предел функции: . 4. Вычислить предел функции: . 5. Исследовать функцию на непрерывность и построить график функции:	Вариант 4 1. Вычислить предел функции: . 2. Вычислить предел функции: . 3. Вычислить предел функции: . 4. Вычислить предел функции: . 5. Исследовать функцию на непрерывность и построить график функции:
Вариант 5 1. Вычислить предел функции: . 2. Вычислить предел функции: . 3. Вычислить предел функции: . 4. Вычислить предел функции: . 5. Исследовать функцию на непрерывность и построить график функции	Вариант 6 1. Вычислить предел функции: . 2. Вычислить предел функции: . 3. Вычислить предел функции: . 4. Вычислить предел функции: . 5. Исследовать функцию на непрерывность и построить график функции

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение понятию «предел функции».

2. Дайте определение «непрерывности функции»

3. Дайте определение понятию «производная функции»