Доказательство. , когда существует , такое, что: .

, когда существует , такое, что: .

По индукции (для верно).

Предположим, что это справедливо для всех .

Докажем для :

Если верно для и будет существовать дуга, то верно для . ()

Следствие.

В -вершинном орграфе , матрицы достижимости

, когда вершина достижима из вершины .

Рекуррентная формула нахождения матрицы достижимости.

1.

2

3.

Теорема. Матричное условие взаимной достижимости.

Вершины взаимно достижимы ó, когда соответствующие им строки в матрице достижимости равны.

Доказательство.

Необходимость.

Пусть взаимно достижимы.

Если вершина достижима из и , то стоят единицы в строках, если нет – то не стоят. Значит, строки равны.

Достаточность.

Пусть строки и равны (вершина достижима сама из себя). Тогда элемент , аналогично (вершины взаимно достижимы)