Доказательство. Рассмотрим в качестве искомого графа – верно.

По индукции.

Рассмотрим в качестве искомого графа – верно.

Рассмотрим в качестве искомого графа (то есть )

. Где – число вершин 1-ого графа, – число вершин 2-го графа, соответственно максимальная степень вершины 1-ого графа, – максимальная степень вершины 2-го графа.

Для и теорема справедлива.

Предположим, что она справедлива для чисел .

Докажем, что теорема справедлива для чисел .

Найдется граф, у которого число вершин будет , и у которого это множество будет степенным множеством.

Рассмотрим множество натуральных чисел:

, где . Число чисел < k, то есть найдется граф, у которого число вершин равно и оно является степенным множеством.

число вершин равно .

Рассмотрим граф, построенный следующим образом: .

Посчитаем число вершин .

Покажем, что это действительно степенное множество этого графа

:

. Такое число есть в множестве.

– это степень вершины из в .

Граф может иметь любое число вершин из .

Предположим, оно равно , тогда , такое число есть.

=> Для любого натурального множества найдется граф, у которого это множество будет степенным, и т.д.

20.Теорема о соотношении суммы степеней вершин и числа ребер (лемма о рукопожатии.)