Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Замечания.Стр 1 из 4Следующая ⇒
1. Если условия Леммы 18.1 выполнены при j1< arg z< j2, то f(x)dx=0. (C'R- дуга окружности, лежащая в данном секторе: |z|=RÇ (j1< arg z< j2)) 2. Условия Леммы 18.1 будут выполнены, если f(z) является аналитической в окрестности z¥ , которая является нулем не ниже второго порядка для f(z), т.е. в окрестности z¥ можно представить f(z)=ψ (z)/z2, где |ψ (z)|< M
Теорема 18.1. Пусть f(x) задана при -¥ < x< ¥ и $ аналитическое продолжение f(z) на Im z³ 0, имеющее конечное число изолированных особых точек zn, не имеющее особых точек на действительной оси и удовлетворяющее условиям Леммы 18.1. Тогда $ несобственный интеграл I-го рода f(x)dx=2pi Выч[f(z), zn], где zn – особые точки функции f(z) в верхней полуплоскости. Доказательство. При R> R0 рассмотрим замкнутый контур (-R< x< R)È C'R{|z|=RÇ Imz> 0}. По основной теореме теории вычетов f(x)dx+ f(x)dx=2pi Выч[f(z), zn], где zn – особые точки функции f(z) в верхней полуплоскости. Но, по Лемме 18.1 f(x)dx=0, правая часть не зависит от R => f(x)dx=2pi Выч[f(z), zn] n.
|