Замечания.

1. Если условия Леммы 18.1 выполнены при j₁< arg z< j₂, то f(x)dx=0. (C'_R- дуга окружности, лежащая в данном секторе: |z|=RÇ (j₁< arg z< j₂))

2. Условия Леммы 18.1 будут выполнены, если f(z) является аналитической в окрестности z_¥ , которая является нулем не ниже второго порядка для f(z), т.е. в окрестности z_¥ можно представить f(z)=ψ (z)/z², где |ψ (z)|< M

Теорема 18.1. Пусть f(x) задана при -¥ < x< ¥ и $ аналитическое продолжение f(z) на Im z³ 0, имеющее конечное число изолированных особых точек z_n, не имеющее особых точек на действительной оси и удовлетворяющее условиям Леммы 18.1. Тогда $ несобственный интеграл I-го рода

f(x)dx=2pi Выч[f(z), z_n], где z_n – особые точки функции f(z) в верхней полуплоскости.

Доказательство. При R> R₀ рассмотрим замкнутый контур

(-R< x< R)È C'_R{|z|=RÇ Imz> 0}. По основной теореме теории вычетов f(x)dx+ f(x)dx=2pi Выч[f(z), z_n], где z_n – особые точки функции f(z) в верхней полуплоскости. Но, по Лемме 18.1 f(x)dx=0, правая часть не зависит от R => f(x)dx=2pi Выч[f(z), z_n] n.