Замечания. 1. Если f(z) удовлетворяет условиям Леммы Жордана при Imz£0, то при a>0 e-iaxf(x)dx=0,

1. Если f(z) удовлетворяет условиям Леммы Жордана при Imz£ 0, то при a> 0 e^-iaxf(x)dx=0,

C'_R- полуокружность |z|=R в области Imz< 0.

2. Если f(z) удовлетворяет условиям Леммы Жордана при Rez³ 0, то при a> 0 e^-axf(x)dx=0,

C'_R- полуокружность |z|=R в области Rez> 0.

3. Если f(z) удовлетворяет условиям Леммы Жордана при Rez£ 0, то при a> 0 e^axf(x)dx=0,

C'_R- полуокружность |z|=R в области Rez< 0.

Если в п.1-3 поменять знак a, то надо поменять знак в показателе экспоненты

4. Лемма Жордана остается справедливой, когда f(z) удовлетворяет условиям Леммы Жордана при Imz³ y₀ (Rez³ x₀; Imz£ y₀; Rez £ x₀), y₀ (x₀)- фиксированное число, которое может быть как > 0, так и < 0, а интегрирование производится по дуге полуокружности |z-iy₀|=R в области Imz> 0 (|z-x₀|=R в области Imz> 0; |z-i y₀|=R в области Imz< 0; |z-x₀|=R в области Imz< 0). Доказательство аналогично, но при оценке интеграла следует сделать замену x=Re^ij+iy₀ (x=Re^ij+x₀). И необходимо провести оценку интегралов по дугам AB и CD (в случае отрицательных значений y₀ и x₀).

5. Лемма Жордана остается справедливой и при ослабленных условиях на f(z). Пусть f(z) при Imz> y₀ при |z|> R₀, равномерно относительно arg(z-iy₁) при |z|®¥ f(z)=> 0 в секторах -j₀£ arg(z-iy₁)£ j₁, p-j₂£ arg(z-iy₁)£ p+j₀, и равномерно ограничена в секторе j₁£ arg(z-iy₁)£ p-j₂., где 0£ j₀, j₁, j₂£ p/2 и y₁> y₀ – заданные положительные числа. Тогда при a> 0

e^iaxf(x)dx=0, C'_R- дуга окружности |z-iy₁|=R в области

Imz≥ y₀∩ -j₀£ arg(z-iy₁)£ p+j₀.

Доказательства сами.

Теорема 18.2 Пусть f(x) задана при -¥ < x< ¥ и $ аналитическое продолжение f(z) на Im z³ 0, имеющее конечное число изолированных особых точек z_n, не имеющее особых точек на действительной оси и удовлетворяющее условиям Леммы Жордана. Тогда $ e^iaxf(x)dx=2pi Выч[e^iazf(z), z_n], где z_n- изолированные особые точки в верхней полуплоскости Im z³ 0.

Доказательство. При R> R₀ рассмотрим замкнутый контур

(-R< x< R)È C'_R{|z|=RÇ Imz> 0}. По основной теореме теории вычетов

e^iaxf(x)dx+ e^iaxf(x)dx=2pi Выч[e^iazf(z), z_n]. Но, по Лемме Жордана e^iaxf(x)dx=0, правая часть не зависит от R =>

e^iaxf(x)dx=2pi Выч[e^iazf(z), z_n] n.

Пример. (k> 0, a> 0)= = =

= Re (piВыч[ , ia]) =(z₀= ia -полюс 1-порядка)= Re (pi(e^-ka/2ia))= pe^-ka/2a.

Замечание. При незначительном изменении формулировок Лемм 18.1 и 18.2 они остаются справедливыми и в случае бесконечного числа изолированных особых точек f(z).

Определение. Функция комплексной переменной f(z) называется мероморфной, если она определена на всей комплексной плоскости и не имеет в конечной части плоскости особых точек, отличных от полюсов.

Как легко видеть, в любой ограниченной области комплексной плоскости мероморфная функция имеет конечное число особых точек. Примерами мероморфных функций являются дробно-рациональные функции, тригонометрические функции tgz, secz.