Замечания. 1. Если f(x)- четная (f(-x)=f(x)) и удовлетворяет условиям Теоремы 18.1, то f(x)dx=pi Выч[f(z),zn]

1. Если f(x)- четная (f(-x)=f(x)) и удовлетворяет условиям Теоремы 18.1, то f(x)dx=pi Выч[f(z), z_n]

2. Имеет место аналогичная теорема, когда аналитическое продолжение f(x) в нижнюю полуплоскость удовлетворяет условиям, аналогичным условиям Леммы 18.1 для нижней полуплоскости.

Пример. f(z)= ; f(z)dz=2pi* *Выч[ , e^ip/n]=(z₀=e^ip/n-полюс 1-го порядка)=2pi/(ne^ip(n-1)/n)=-2pi/(ne^-ip/n). С другой стороны,

f(z)dz= f(z)dz+ f(x)dx+ f(z)dz.При R®¥ второе слагаемое ®0 (по Замечанию 1 к Лемме 18.1. В третьем слагаемом z=xe^i2p/n. Устремив R®¥, получим f(x)dx+e^i2p/n f(x)dx= (1-e^i2p/n) f(x)dx=-2pi/(ne^-ip/n) =>

f(x)dx=-2pi/[(ne^-ip/n) (1-e^i2p/n)]= p/(n sin p/n).

Пример.

Рассмотрим функцию , являющуюся аналитическим продолжением нашей функции. И рассмотрим контур в виде прямоугольника:

Внутри этого контура у f(z) существует одна особая точка, вычет в которой:

. Оценим интегралы по вертикальным сторонам прямоугольника:

при R→ ∞, т.к. 0< a< 1. Аналогично

при R→ ∞. Интеграл по верхней стороне

Лемма 18.2 (Жордана). Если f(z)Î C^¥ (|z|> R₀Ç Imz≥ 0) за исключением конечного числа изолированных особых точек и f(z)=> 0 при |z|®¥ (равномерно по arg z, 0£ arg z£ p), zÎ Imz≥ 0, то при a> 0 e^iaxf(x)dx=0, где C'_R- полуокружность |z|=R в области Imz≥ 0.

Доказательство. " e> 0 $R: |f(z)|< e, |z|> R. При R> R₀:

| e^iaxf(x)dx|£ |e^iaxf(x)|dξ £ {x=Re^ij=x+iy, x=Rcosj, y=Rsinj, dξ =Rdj, e^iax=e^ia(x+iy)= e^iaxe^-ay, |e^iax|=e^-ay=e^-ay =e^-aRsinj} £ eR |e^iax|dj=eR e^-aRsinjdj =

=2eR e^-aRsinjdj< {sinj³ (2/p)j при 0£ j£ p/2}< 2eR e^-aR(2/p)jdj=pe(1-e^-aR)/a ®0 при R®¥, e®0 (a> 0) n.