Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач.

Определение 1. Матрицейиз m строк, n столбцов называется прямоугольная таблица чисел ; - элемент матрицы; i-номер строки; i=1, …, m; j-номер столбца, j=1, …, n; m, n – порядки матрицы. При m=n - квадратная матрица.

Элементы , где – образуют главную диагональ.

Определение 2. Квадратная матрица, все элементы которой вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной.

.

Определение 3. Если в диагональной матрице все , то такая матрица называется единичной. Например , .

Транспонирование матрицы – такое преобразование матрицы, при котором строки становятся столбцами с сохранением порядка следования.

Например.

.

Определение 3. Суммой матриц одного порядка называется матрица с элементами , где

Определение 4. Произведением матрицы на число называется матрица того же порядка с элементами .

Пример 1. Найти линейную комбинацию 3А - 2В, если

А = , В = .

Решение. Сначала находим произведение А на к₁ = 3 и В на к₂ = 2:

3А = , 2В = .

Теперь найдем сумму полученных матриц:

3А - 2В = = .

Определение 5. Произведением матрицы на матрицу называется матрица с элементами , где

Произведением матрицы A₃₃ на матрицу B₃₃ называется новая матрица C₃₃=AB, элементы которой составляются следующим образом:

Пример 2. Найти произведение C = АВ, если А₃₃ = , В₃₂ = .

Решение. АВ = = .

Пример 3. Вычислить выражение , если

, .

Решение. Найдём . По определению, чтобы получить матрицу необходимо в поменять местами соответствующие строки и столбцы, таким образом, имеем

.

Вычислим теперь искомое выражение

Определение 6. Обратной матрицей для квадратной матрицы А называется такая матрица А ^-1, которая при умножении как слева так и справа на матрицу А, дает в произведении единичную матрицу Е.

А ∙ А ^{– 1} = А ^{– 1}∙ А = Е.

Определение 7. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю. В противном случае матрица называется вырожденной.

Теорема. Для того чтобы матрица была обратимой необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Нахождения обратной матрицы. (1)

где | А | – определитель А, причем | А | ¹ 0,

– присоединенная матрица к матрице А, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов матрицы А', транспонированной к А.

3. Найти обратную матрицу к матрице .

Решение. 1) Вычислим определитель данной матрицы.

, следовательно матрица А – невырожденная и обратная матрица А^-1 существует.

2) Находим матрицу А', транспонированную к А: .

3) Найдем алгебраические дополнения матрицы А':

; ;

Составим присоединенную матрицу

4) Составим обратную матрицу, подставив найденные значения в формулу:

.

5) Проверяем правильность вычислений обратной матрицы по формуле

Задание для практической работы:

Вариант 1	Вариант 2
На оценку “3”
Задание 1. Вычислить линейные комбинации матриц:
2А - В, если А = В=	3А + 2В, если А = В =
Задание 2. Найти произведение АВ.
А = , В =	А = , В =
Задание 3. Вычислить С = А2 + 2В+Е, где Е - единичная матрица.
А = , В =	А = , В = .
Задание 4. Найти матрицу, обратную заданной матрице
Вариант 3	Вариант 4
На оценку “4” и “5”
Задание 1. Вычислить линейные комбинации матриц:
2А - 3ВТ, если А = В =	3А + 5ВТ, если А = , В =
Задание 2. Вычислить матрицу D = (AB)T – C2, где
Задание 3. Вычислить матрицу D = ABC − 3E, где Е - единичная матрица
Задание 4. Найти матрицу, обратную заданной матрице