Понятие множества

Под множеством понимается некоторая, вполне определенная совокупность объ­ектов или элементов. Это утверждение не следует рассматривать как строгое определение. Такое “определение” напоминает данное основоположником теории множеств Георгом Кантором определение множества как “объединения в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или мыслью". Расплывча­тость, недостаточность этого определения стала понятной, когда в 1879 году ита­льянский логик Бурали-Форти, а немного позже выдающийся философ и логик Бертран Рассел открыли парадоксы, указывающие на внутреннюю противоречи­вость канторовой теории множеств. Для устранения таких противоречий и пара­доксов для теории множеств были предложены аксиоматические системы. Наи­более известны системы Цермело-Френкеля-фон Неймана. Гильберта-Бернайса- Геделя и Рассела-Уайтхеда. В силу ограниченности объема книги мы не будем изучать эти системы. Поэтому, по сути, мы оставим понятие множества неопре­деленным и будем считать множество заданным, если его элементы однозначно определены и это не приводит к каким-либо противоречиям.

Конечные множества можно описывать, перечисляя их элементы. Элемен­ты, принадлежащие конечному множеству, условимся записывать между двумя фигурными скобками и разделять их запятыми. Например, {1, 2, 3, 4} есть мно­жество, содержащее натуральные числа 1, 2, 3 и 4. Множество гласных мож­но представить как {а, о, у, э, и, ы}. Как правило, для обозначения множеств будем использовать прописные буквы. A = {Боб, Джейн, Нэнси} есть множе­ство, состоящее из Боба, Джейн и Нэнси. Множество первых п положительных целых чисел обозначаем {1, 2, 3, 4,..., n}, где точками показано продолжение пере­числения элементов. Это же обозначение можно использовать для некоторых бес­конечных множеств. Например, множество положительных целых чисел можно обозначить как {1, 2, 3, 4,...}. Часто при перечислении множества используется описание характеристического свойства элементов этого множества. Например, С = {1, 8, 27,..., k³,...} описывает множество кубов всех положительных чисел, а S = {1, 4, 9,..., n²} описывает множество квадратов всех положительных чисел.

В общем случае множество задается путем указания характеристического свойства, т.е. свойства, которому удовлетворяют элементы данного множества, и только они. Для задания обычно используются фигурные скобки, а внутри них приводится характеристическое свойство, описывающее множество. Таким обра­зом. множество {x: х обладает свойством Р} предполагается содержащим только те объекты, которые имеют свойство Р. Например, {x: x — футболист, играю­щий за Юго-западный колледж} — множество, состоящее из всех футбольных игроков, выступающих за Юго-западный колледж. Запись {х: х — гражданин Англии} описывает множество всех граждан Англии. Способ задания множества должен быть адекватным, т.е. должен полностью определять множество. Это не представляет труда, если объекты множества перечислены. Рассмотрим, однако, множество А = {х: х — высокий студент данной группы} или В - [х: х — хо­роший студент данной группы}. Если различным студентам группы предложить определить множества A и B, они могут сделать это неоднозначно, выбирая в качестве элементов как множества А, так и множества В не одних и тех же людей. При рассмотрении множества С = {х: х — привлекательная (или кра­сивая) студентка группы} выбрать элементы множества С не только трудно, но не стоит даже пытаться это сделать. Однако, если множество А = {х: х — сту­дент данной группы, рост которого выше 180см} и В = {х: х — студент данной группы, средний балл которого не ниже 4}, то можно сказать определенно, явля­ется ли данный студент элементом А или В, так что А и В действительно есть множества.

Таким образом, мы приходим к следующему формальному определению.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Если а есть один из объектов множества А. мы говорим, что а есть элемент А, или а принадлежит А. Принадлежность элемента а множеству А записывается как а А. Если а не является элементом А, это записывается как а А.

Например, 3 {1, 2, 3.4}, но 5 {1, 2, 3.4}. Если Р есть множество {x: х был президентом Соединенных Штатов}, то Авраам Линкольн Р. а Патрик Гэнри Р.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Множество А есть подмножество множества В (обозначается А В), если каждый элемент А есть элемент В; т.е. если х А, то x В. В частности, каждое множество есть подмножество самого себя. Если А не является подмножеством В, это записывается как А В. Таким образом, А В. если существует элемент А, не принадлежащий B.

Множества равны, если они содержат одни и те же элементы. Если А есть множество {2, 4, 6}, а В есть множество {х: х есть четное положительное целое число, которое меньше 7}, тогда А и В — равные множества. Таким образом, мы приходим к следующему определению.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. Пусть А и В — некоторые множества. Говорят, что А равно В. и пишут А = В, если для любого х имеем: х А тогда и только тогда, когда х В. Иначе говоря, А = В тогда и только тогда, когда А В и В А. Если А В и А ≠ В, то это записывают А В и говорят, что А есть собственное подмножество В.

Таким образом, доказательство равенства множеств А и В состоит из двух этапов:

1) Доказать, что А есть подмножество В.

2) Доказать, что В есть подмножество А.

Поскольку множество однозначно определяется только элементами, которые оно содержит, порядок их перечисления роли не играет. Например, {1, 2, 4, 6} = {2, 1, 6, 4}. Кроме того, любой элемент либо принадлежит данному множеству, либо нет. Каждый элемент может входить во множество не более одного раза.

С этого момента вводится два новых множества: универсальное множество, или универсум, и пустое множество. В известном смысле они представляют со­бой противоположности, поскольку пустое множество не содержит элементов, а универсальное множество содержит “все" элементы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4. Пустое множество, обозначаемое Ø или {}, есть мно­жество, которое не содержит элементов. Универсальное множество U есть множество, обладающее таким свойством, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами.

В теории чисел универсальное множество обычно совпадает со множеством всех целых или натуральных чисел. В математическом анализе универсальное множество может быть множеством всех действительных чисел или множеством всех точек 71-мерного пространства. Следует отметить, что универсальное множе­ство U, хотя и названо универсальным, однозначно не определено, если точно не указана область рассмотрения (предметная область). Конечно, любое множество, содержащее U, может быть использовано как универсальное множество.

По определению, каждое множество есть подмножество универсального мно­жества. Пустое множество есть подмножество любого данного множества А, по­скольку каждый элемент пустого множества содержится в А. Можно сказать, что не существует элементов пустого множества, которые не принадлежали бы А.