Операции над множествами

Рассмотренные ниже операции над множествами позволяют строить новые множества, используя уже существующие.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.5. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и А, и В. Пересечение множеств A и В обозначается А В. Это определение равносильно следующему: А В = {х: х А и х В].

Например, если А = {1, 2, 3, 4, 5} и В = {1, 3, 5, 7, 9}, тогда А В = {1, 3, 5}. Если С = {х: х имеет рост выше 180см} и D - {х: х любит играть в шахматы}, тогда С D = {х: х имеет рост выше 180см и любит играть в шахматы}. Обратите внимание, что в описании пересечения множеств В С использована связка “и”. В дальнейшем мы убедимся, что символы и . введенные в главе 1, связаны между собой и имеют схожие свойства.

Определим пересечение трех и более множеств. Пусть А₁, А₂ и А₃ — мно­жества. Их пересечение можно определить следующим образом:

В = A₁ (А₂ A₃).

Далее будет показано, что А₁ (А₂ Аз) = (А₁ A₂) Аз, поэтому можно использовать запись

В = А₁ А₂ A₃.

Очевидно, х В тогда и только тогда, когда х A₁ , х A₂ и x A₃; иными словами, х В тогда и только тогда, когда х принадлежит всем трем множествам А₁, A₂ и Аз. Пусть J = {1, 2, 3}. В таком случае х В тогда и только тогда, когда х А_j для всех j J. что равносильно записи

В = {х: х A_j для всех j J }.

Пересечение множеств в общем случае определяется следующим образом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.6. Если I = {1, 2, 3,..., k}, то

A_j = A₁ А₂ Аз … А_к = {х: х A, для всех i I}.

Объединением множеств A и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A или В. Объединение множеств А и В обозначается A U В. Сформулированное выше определение можно записать так: A U B = {х: х A или х В).

Объединение множеств в общем случае определим следующим образом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.6. Если I = {1, 2, 3,..., k}, то

A_j = A₁ U А₂ U Аз U …U А_к = {х: существует i I, такое что x A_i}.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.9. Пусть А и В множества. Разностью множеств А - В

называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содер­жатся в В. Или, что то же самое, А - В = {х: х А и х В). Симмет­рическая разность множеств А и В, обозначаемая А В, есть множество (A-B)U(B-A).

Например, если А = {1.2, 4, 6, 7}, а В = {2, 3.4, 5, 6}, то А - В = {1, 7}, а A B есть множество {1.3, 5, 7}. Симметричная разность множеств А и В состоит из тех элементов, которые принадлежат в точности одному из двух множеств А или В. Если А = {х: х играет в теннис}, а В = {х: х играет в гольф}, то А — В = {х: х играет в теннис, но не играет в гольф}. Множество А В = {х: х играет только в теннис или играет только в гольф}. Обратите внимание на сходство со связкой " исключающее или” из главы 1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.10. Дополнение множества А, обозначаемое А'. — это мно­жество элементов универсума, которые не принадлежат А. Следовательно, А' = U - А = {х: х U и х А).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.14. Множество всех подмножеств множества А, или бу- леан множества А, обозначаемый , есть множество, состоящее из всех подмножеств множества А.

Следовательно, булеан множества А = {1, 2, 3} есть множество

= {Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}}.

Когда А содержит 3 элемента. состоит из 2³ = 8 элементов или, что то же самое, А включает 2³ = 8 подмножеств. Это будет показано в главе 8. В общем случае, если А содержит n элементов, множество включает 2ⁿ элементов, т.к. А имеет 2ⁿ подмножеств. По этой причине часто обозначают через 2^A.

Еще одной часто используемой операцией над множествами является декар­тово произведение, которое определяется следующим образом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.15. Декартово произведение множеств А и В, обозначае­мое А В, есть множество {(a, b): а А и b В}. Объект (а, b) называется упорядоченной парой с первой компонентой а и второй компонентой b.

Множество А × В состоит из всех упорядоченных пар имеющих в качестве первой компоненты элемент из A, а в качестве второй компоненты — элемент из В. По существу, это та же упорядоченная пара, которую мы обычно использу­ем в алгебре. Порядок компонент в паре существенен! Например, рисуя график функции, мы знаем, что точка (1, 2) не совпадает с точкой (2, 1).

Пусть A = {1, 2, 3}, а В = {r, s}. Тогда

A × В = {(1, r), (1, s), (2, r), (2, s), (3, r), (3, s)}.

Если каждое из множеств А и В представляет собой множество действительных чисел, то А × В представляет собой декартову плоскость, на которой упорядо­ченные пары чисел используются для графического изображения функций.

Если A содержит n элементов, а В содержит m элементов, тогда А × В содер­жит n•m элементов. В частности, если A пусто или В пусто, то, по определению, А × В пусто.