![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Анализ данных 4 страница
Таким образом, с вероятностью
или
Напомним, множество точек k -мерного евклидова пространства, удовлетворяющих условию Случай 2 Пусть ковариационная матрица
Статистика (2.2) называется статистикой Хотеллинга, её закон распределения связан с распределением Фишера следующим образом:
где Переходя к неслучайной величине
или
Статистика Хотеллинга (2.2) используется для построения доверительной области для вектора математических ожиданий по всем k анализируемым признакам. Однако на практике может возникнуть необходимость построения доверительной области по нескольким Пусть по результатам n наблюдений из генеральной совокупности Для решения поставленной задачи вводится в рассмотрение матрица C вида
Так как
Процентные точки распределения статистики Хотеллинга и распределения Фишера связаны соотношением
где
2.3 Построение доверительной области для вектора параметров в форме прямоугольного параллелепипеда
Ставится задача построить с вероятностью Обозначим через
Получаем, Таким образом, для построения доверительной область для вектора параметров
2.4 Проверка гипотезы о равенстве вектора математических ожиданий нормально распределенной генеральной совокупности вектору-стандарту
Пусть по результатам n наблюдений из генеральной совокупности Случай 1 Пусть ковариационная матрица
которая при справедливости гипотезы
Первое уравнение можно записать в виде:
Таким образом, Критическая область имеет вид: Случай 2 Пусть ковариационная матрица
При справедливости гипотезы
где Если наблюдаемое значение статистики Замечание: даже если гипотеза 2.5 Проверка гипотезы об однородности распределения двух многомерных нормально распределенных генеральных совокупностей
Две генеральные совокупности называются однородными, если кроме одних и тех же признаков эти совокупности имеют одинаковые законы распределения [25]. Рассмотрим две нормально распределенные генеральные совокупности: 1. Проверка гипотезы о равенстве ковариационных матриц Ставится задача на основе выборочных данных объемами Для проверки гипотезы
где
Статистика W при справедливости гипотезы
имеет распределение «Хи-квадрат» с числом степеней свободы Нахождение критических точек осуществляется так же, как и в п. 2.4 (случай 1). Если в результате проверки гипотеза 2. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий Ставится задача на основе выборочных данных объемами В скалярном случае для проверки равенства математических ожиданий двух нормально распределенных генеральных совокупностей при неизвестных дисперсиях, но равных между собой, используется статистика
закон распределения которой при справедливости нулевой гипотезы связан с распределением Фишера-Снедекора соотношением:
где Если в результате проверки гипотеза
2.6 Проверка гипотезы о нормальном законе распределения многомерной генеральной совокупности
Многие задачи многомерного статистического анализа в настоящее время решены только для нормально распределенных генеральных совокупностей. Это касается построения доверительных областей для вектора параметров, проверки различных статистических гипотез в многомерном случае, параметрического дискриминантного анализа, реализуемого в статистических пакетах только для нормально распределенных классов, и т.д. Кроме того, выполнение требования нормального закона распределения многомерной генеральной совокупности является необходимым условием применения корреляционного анализа для исследования взаимосвязи признаков, а также предпосылкой корректного использования статистик для проверки различных гипотез при реализации методов снижения размерности признакового пространства. Каким же образом проверить гипотезу о нормальном законе распределения многомерной генеральной совокупности? Четкого ответа на этот вопрос нет ни в одном из отечественных учебников по прикладной статистике. В многомерном случае с помощью критериев согласия можно проверить необходимое условие многомерного нормального закона распределения – нормальный закон распределения каждой из компонент случайного вектора [25]. В отечественной литературе по математической статистике основное внимание уделено трём статистическим критериям – критерию Колмогорова, критерию Кроме того, в многомерном случае можно проанализировать двумерные частные законы распределения. Как известно, для двумерного нормального закона распределения линии уровня представляют собой эллипсы с центром в точке с координатами В надстройке AtteStat пакета Excel реализованы три статистических критерия проверки многомерного нормального закона распределения: критерий асимметрии Мардиа, критерий эксцесса Мардиа и критерий Хенце-Цирклера. Описание этих и многих других статистических критериев можно найти в работах [3-9, 19, 20, 39].
2.7 Вопросы и задания к практическим занятиям
1. Сформулируйте постановку задачи точечного оценивания параметров многомерной нормально распределенной генеральной совокупности 2. Что является оценкой вектора математических ожиданий? 3. Что является оценкой ковариационной матрицы? 4. Как рассчитываются смещенная и несмещенная оценки ковариационной матрицы? 5. Дайте определение доверительной области для вектора параметров 6. В чем состоит основанная сложность решения задачи построения доверительной области для вектора параметров? 7. Какие подходы существуют к решению задачи построения доверительной области для вектора параметров? 8. Расскажите алгоритм решения задачи построения доверительной области для вектора математических ожиданий нормально распределенной генеральной совокупности в случае, когда ковариационная матрица известна 9. Расскажите алгоритм решения задачи построения доверительной области для вектора математических ожиданий нормально распределенной генеральной совокупности в случае, когда ковариационная матрица не известна 10. Что геометрически представляет собой доверительная область для вектора математических ожиданий нормально распределенной генеральной совокупности? Обоснуйте, почему? 11. Каким образом решается задача построения доверительной области для математического ожидания части компонент многомерного нормально распределенного вектора признаков при условии нивелирования значений остальных признаков? 12. Сформулируйте постановку задачи построения доверительной области для любого вектора параметров в форме прямоугольного параллелепипеда 13. При каком условии может быть решена задача построения доверительной области для вектора параметров в форме прямоугольного параллелепипеда?
|