Порядок выполнения лабораторной работы. Лабораторная работа выполнена по данным нулевого варианта таблиц А.1, А.2, А.3 с помощь пакетов Statistica

Лабораторная работа выполнена по данным нулевого варианта таблиц А.1, А.2, А.3 с помощь пакетов Statistica, Mathcad.

1) Нахождение оценок параметров распределения случайного вектора

Так как случайный вектор ), то необходимо рассчитать оценку вектора математических ожиданий и оценку ковариационной матрицы .

Оценкой вектора математических ожиданий является вектор средних арифметических . Для расчета вектора средних арифметических воспользуемся пакетом Statistica. Для этого после ввода исходных данных необходимо выбрать пункты меню «Statistics», «Basic Statistics/Tables» (рисунок 2.1). В появившейся форме, представленной на рисунке 2.2, выбрать «Descriptive statistics» и нажать кнопку «ОК». В появившейся форме «Descriptive statistics» нажать кнопку «Variables» и в появившемся окне, представленном на рисунке 2.3, выбрать три первых признака (1-3) и нажать «ОК». Для получения результатов расчета нажать кнопку «Summary». Среднее арифметическое значение каждого признака представлено в столбце «Mean» таблицы, представленной на рисунке 2.4.

Рисунок 2.1 – Выбор пунктов меню для расчета средних арифметических значений признаков

Рисунок 2.2 – Вид формы «Basic Statistics and Tables»

Рисунок 2.3 – Окно выбора признаков для анализа в форме «Descriptive Statistics»

Рисунок 2.4 – Результаты расчета средних значений признаков

Получили , т.е. средние значения среднемесячного объема продаж первого, второго и третьего товаров составляют соответственно 10, 14 тыс. руб., 20, 22 тыс. руб., 29, 87 тыс. руб.

Для расчета смещенной и несмещенной оценок ковариационной матрицы по формулам и воспользуемся пакетом Mathcad. Порядок расчетов представлен на рисунке 2.5.

Рисунок 2.5 – Расчет оценки ковариационной матрицы в пакете Mathcad

Таким образом, получили:

, .

2) Построение доверительной области для математического ожидания случайного вектора в форме эллипсоида

Ковариационная матрица не известна. В этом случае как было показано в пункте 2.2 уравнение эллипсоида, ограничивающего доверительную область для вектора математических ожиданий с вероятностью , имеет вид:

,

где – -ая точка распределения Фишера-Снедекора с числом степеней свободы , , .

Найти можно с помощью функции FРАСПОБР() пакета Excel. В нашем случае . С помощью пакета Mathcad рассчитаем . Результаты расчета приведены на рисунке 2.6.

Рисунок 2.6 – Результаты расчета обратной матрицы

Подставив , в левую часть уравнения (2.3) и рассчитав правую часть, получим:

.

Перенесем начало координат в центр эллипсоида. Для этого сделаем замену переменных (, ):

.

Левая часть выражения полученного уравнения представляет собой квадратичную форму относительно вектора . Приведем квадратичную форму к каноническому виду.

Напомним, для приведения квадратичной формы к каноническому виду необходимо найти такую ортогональную матрицу В, чтобы после введения новых переменных при помощи уравнения квадратичная форма содержала только слагаемые с квадратами новых признаков: . После замены переменных форма переходит в форму . Таким образом, необходимо найти такую матрицу В, чтобы матрица имела диагональный вид. Для этого в качестве столбцов матрицы В необходимо выбрать ортонормированную систему собственных векторов матрицы А. Тогда будут собственными числами матрицы А. Матрица B выступает в качестве матрицы ортогонального вращения системы признаков .

В нашем случае в качестве матрицы А выступает матрица . Следовательно, для приведения квадратичной формы к каноническому виду необходимо найти собственные числа и собственные вектора матрицы . Результаты расчетов собственных чисел и собственных векторов, полученные с помощью пакета Mathcad, приведены на рисунке 2.7.

Рисунок 2.7 – Результаты расчетов собственных чисел и собственных векторов матрицы

Вид матрицы В и результаты расчета произведения приведены на рисунке 2.8.

Рисунок 2.8 – Результаты расчета матрицы

Уравнение эллипсоида, ограничивающего доверительную область для вектора математических ожиданий , принимает вид:

.

Запишем уравнение эллипсоида в каноническом виде:

.

Знаменатели в левой части уравнения представляют квадраты длин полуосей эллипсоида.

3) Построение доверительной области для математического ожидания случайного вектора при нивелировании признака

Для построения доверительной области для математического ожидания случайного вектора при нивелировании признака введем в рассмотрение матрицу .

Уравнение эллипса, ограничивающего доверительную область для вектора математических ожиданий с вероятностью , имеет вид:

, (2.10)

где – -ая точка распределения Фишера-Снедекора с числом степеней свободы , , .

С помощью пакета Excel получаем . С помощью пакета Mathcad рассчитаем . Результаты расчетов приведены на рисунке 2.9.

Рисунок 2.9 – Расчет матрицы

Подставив , С, в левую часть выражения (2.10) и рассчитав правую часть, получим:

.

Перенесем начало координат в центр эллипса. Для этого сделаем замену переменных (, ):

.

Приведем уравнение эллипса к каноническому виду. Результаты расчетов собственных чисел и собственных векторов матрицы приведены на рисунке 2.10.

Рисунок 2.10 – Результаты расчетов собственных чисел и собственных векторов матрицы

Тогда уравнение эллипса, ограничивающего доверительную область для вектора математических ожиданий , принимает вид:

или .

График эллипса в системе координат , построенный в пакете Mathcad, представлен на рисунке 2.11.

Рисунок 2.11 – Построение графика эллипса в пакете Mathcad

На рисунке 2.12 представлен эллипс в системе координат .

Рисунок 2.12 – График доверительной области в системе координат

4) Построение доверительной области для математического ожидания случайного вектора в форме прямоугольного параллелепипеда

Рассчитаем доверительную вероятность, с которой будем строить доверительные интервалы для математического ожидания каждого признака:

.

Для построения доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности при неизвестном среднем квадратическом отклонении используется статистика , имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы . Решая уравнение , находим – квантиль уровня распределения Стьюдента с числом степеней свободы . Доверительный интервал для m имеет вид: .

Значение найдем с помощью функции Excel СТЬЮДРАСПОБР(), где . Получим: .

Оценки средних квадратических отклонений рассчитаны в пакете Statistica (рисунок 2.4): ; ; . С вероятностью 0, 98 доверительные интервалы для математического ожидания признаков , , имею вид:

, , .

Тогда с вероятностью 0, 95 доверительная область для математического ожидания случайного вектора имеет вид прямоугольного параллелепипеда, изображенного на рисунке 2.13.

Рисунок 2.13 – Изображение доверительной области для вектора математических ожиданий в форме прямоугольного параллелепипеда

5) Проверка гипотезы о равенстве вектора математических ожиданий вектору

Проверим гипотезу о равенстве вектора математических ожиданий постоянному вектору . Выдвигаем гипотезы:

,

.

Так как ковариационная матрица не известна, то для проверки гипотезы воспользуемся статистикой Хотеллинга (2.5). Наблюдаемое значение статистики вычислим с помощью пакета Mathcad. Результаты вычислений представлены на рисунке 2.14.

Рисунок 2.14 – Результаты расчета наблюдаемого значения статистики Хотеллинга при проверке гипотезы о значении вектора математических ожиданий

Критическую точку найдем по формуле (2.6). С помощью функции Excel FРАСПОБР() получаем, что . Тогда .

Так как < можно сделать вывод, что гипотеза принимается, т.е. можно считать, что математическое ожидание среднемесячного объема продаж первого, второго и третьего товаров составляется соответственно 10 тыс. руб., 20 тыс. руб. и 30 тыс. руб.

6) Проверка гипотезы об однородности распределения генеральных совокупностей и

Так как генеральные совокупности и распределены по нормальному закону, то для проверки однородности их распределения необходимо проверить, равны ли параметры распределения, т.е. ковариационные матрицы и вектора математических ожиданий.

Проверим гипотезу о равенстве ковариационных матриц:

,

.

Оценка ковариационной матрицы генеральной совокупности составляет:

.

Наблюдаемое значение статистики W (2.7) рассчитано в пакете Mathcad, результаты представлены на рисунке 2.15.

Рисунок 2.15 – Результаты расчета наблюдаемого значения статистики при проверке гипотезы о равенстве ковариационных матриц

Критические значения статистики W найдем с помощью функции Excel ХИ2ОБР(; ), которая выдает -ую точку распределения «Хи-квадрат» с числом степеней свободы :

(=ХИ2ОБР(0, 975; 6);

(=ХИ2ОБР(0, 025; 6).

Так как не попало в критическую область , то гипотеза принимается, т.е. ковариационные матрицы генеральных совокупностей и равны.

Далее проверим гипотезу о равенстве векторов математических ожиданий генеральных совокупностей и :

;

.

Оценка вектора математических ожиданий генеральной совокупности известна: . Наблюдаемое значение статистики Хотеллинга (2.8) рассчитаем в пакете Mathcad (рисунок 2.16).

Рисунок 2.16 – Результаты расчета наблюдаемого значения статистики при проверке гипотезы о равенстве математических ожиданий

С помощью функции FРАСПОБР() пакета Exсel найдем -ую точку распределения Фишера-Снедекора с числом степеней свободы , : . По формуле (2.9) рассчитаем критическое значение статистики :

.

Так как , то гипотеза о равенстве векторов математических ожиданий и принимается. Таким образом, генеральные совокупности и однородны. Это означает, что нет различий в среднемесячном объеме продаж товаров 1, 2, 3 в городах «А» и «Б», что дает возможность объединить выборки из генеральных совокупностей и в одну, объем которой составит 90 торговых точек.

Вопросы к защите лабораторной работы

1. Расскажите алгоритм расчета оценки ковариационной матрицы в пакете Mathcad

2. Каким образом привести уравнение эллипсоида к каноническому виду?

3. Дайте определение собственных чисел и собственных векторов матрицы

4. Объясните, как график эллипса в новой системе координат изобразить в исходной системе координат ?

5. Расскажите алгоритм построения доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности с неизвестным средним квадратическим отклонением

6. Дайте определение, что такое квантиль уровня p и -ая точка распределения случайной величины? Объясните взаимосвязь этих двух числовых характеристик

7. Дайте определения и опишите свойства функций и

8. Объясните, для чего предназначены функции Excel СТЬЮДРАСПОБР(), ХИ2ОБР(, ) и FРАСПОБР()?

9. Что с практической точки зрения означает вывод об однородности распределения двух генеральных совокупностей?

10. Приведите примеры экономических задач, решение которых можно осуществить с помощью построения доверительной области для вектора математических ожиданий, с помощью проверки гипотез о значении вектора математических ожиданий и об однородности распределения двух генеральных совокупностей

2.9 Задание, порядок выполнения и вопросы к защите лабораторной работы на тему «Проверка гипотезы о нормальном законе распределения многомерной генеральной совокупности»