Ранговый коэффициент корреляции Спирмена

Выборочное значение рангового коэффициента корреляции Спирмена между ранжировками и рассчитывается по формуле:

. (3.5)

Рассмотрим как получена эта формула. Изначально Ч. Спирмен предложил взять в качестве меры расхождения двух ранжировок величину . Если ранжировки совпадают, то и . Вычислим значение величины D, если ранжировки противоположны, т.е. . Пусть выборочные данные упорядочены по признаку . Тогда матрица исходных данных будет иметь вид:

.

Такую матрицу, где в первой строке стоят ранги объектов по признаку , а во второй – ранги соответствующих объектов по признаку , называют подстановкой.

Тогда получаем:

.

Учитывая, что последовательность есть арифметическая прогрессия второго порядка и , значение величины D для противоположных ранжировок составляет: .

Таким образом, . Построим коэффициент так, чтобы он принимал значение +1, когда ранжировки совпадают, и –1, когда ранжировки противоположны. В результате получаем формулу для расчета рангового коэффициента корреляции Спирмена (3.5). Аналогичный результата можно получить, вычисляя коэффициент корреляции Пирсона применительно к ранжировкам и .

Формула (3.5) используется для расчета выборочного значения рангового коэффициента корреляции Спирмена только в случае отсутствия объединенных рангов в ранжировках и . В противном случае используется формула:

, (3.6)

где – поправочные величины, ;

– число групп неразличимых рангов в ранжировке ;

– число элементов, входящих в группу t неразличимых рангов.

К основным свойствам рангового коэффициента корреляции Спирмена относятся:

1. коэффициент принимает значения от -1 до +1;

2. коэффициент равен +1 для совпадающих ранжировок, т.е. при ;

3. корреляции равен -1 для противоположных ранжировок, т.е. при ;

4. положительное значение коэффициента указывает на «положительную» связь j -го и k -го признаков, т.е. при усилении степени проявления одного признака, степень проявления другого признака также усиливается;

5. отрицательное значение коэффициента указывает на «отрицательную» связь признаков, т.е. при усилении степени проявления одного признака, степень проявления другого признака ослабевает;

6. при большом объеме выборки n и независимости и оценка рангового коэффициента корреляции Спирмена подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданием равным нулю и дисперсией равной .

После расчета выборочного значения рангового коэффициента корреляции Спирмена необходимо проверить значимость коэффициента. Для этого выдвигаются гипотезы:

(ранговый коэффициент корреляции Спирмена незначим);

(ранговый коэффициент корреляции Спирмена значим).

Для проверки гипотезы используется статистика , имеющая при условии справедливости нулевой гипотезы и объеме выборки распределение Стьюдента с числом степеней свободы .

При проверка гипотезы осуществляется с помощью специальной таблицы, позволяющей вычислить критическое значение коэффициента Спирмена [12].