Закони регулювання

2.2.1 Простіші регулятори

Основною характеристикою регулятора є закон регулювання, що він формує:

. (2.2)

Закон регулювання визначає основні якісні і кількісні характеристики системи.

Розрізняють лінійні і нелінійні закони регулювання. Крім того, закони регулювання можуть бути реалізовані в безперервному або в дискретному вигляді. Дискретні закони регулювання в основному реалізуються шляхом побудови регуляторів за допомогою засобів обчислювальної техніки (мікроЕОМ або мікропроцесорних систем).

Розглянемо основні лінійні закони регулювання.

Найпростішим є пропорційний закон регулювання. В цьому випадку регулятор називають П- регулятором або статичним регулятором. При цьому

. (2.3)

де k_p – коефіцієнт пропорційності, який може мати будь-який знак і будь-яке значення.

Основною перевагою П - регулятора є простота. По суті, він є звичайним підсилювачем із коефіцієнтом підсилення k_p. При виборі значення коефіцієнта k_p регулятора доводиться знаходити компроміс між двома суперечливими вимогами щодо системи керування. З одного боку, час регулювання, тобто час перехідного процесу, повинен бути якомога менше, адже система повинна бути швидкодійною.

З другого боку, необхідно забезпечити достатній запас стійкості, щоб зміна параметрів системи або умов її роботи в деяких межах не привела до втрати стійкості. З цією вимогою тісно пов'язаний такий показник якості як максимальне перерегулювання s. Нагадаємо, що теоретично s не повинне перевищувати 20%, але, як показує практика, для нормальної роботи багатьох систем керування перерегулювання повинне бути не більше 2 ¸ 5%.

Залежність показників якості системи при підвищення коефіцієнта k_p П – регулятора відображена у таблиці 2.1.

Таблиця 2.1 – Ефект від підвищення коефіцієнта k_p

Як видно з таблиці 2.1 підвищення k _p підвищує швидкодію системи, оскільки П-регулятор енергійніше прагне зменшити помилку регулювання e(t) (див. вираження 2.3). Проте, при цьому, виконавчий механізм і об'єкт швидше накопичують енергію і система за інерцією «перескакує» бажане значення вихідної величини. Це приводить до підвищення коливань перехідного процесу і навіть до втрати стійкості. Тому необхідно з особливою ретельністю підходити до вибору значення k_p, балансуючи між швидкодією і максимальним перерегулюванням.

Ще одним недоліком П-регулятора є те, що в сталому режимі завжди залишається деяке відхилення e_ст вихідної величини від заданого значення.

Інтегральний закон регулювання реалізує І - регулятор:

. (2.4)

де U_і (0) – початкове значення вихідної величини інтегруючого каналу, k_і – коефіцієнт підсилення, якому теж може бути надане будь-яке значення.

Зупинимося на поясненні роботи інтегруючого каналу докладніше. Вважатимемо, що рух системи при зміні бажаного режиму G (t) починається із стану спокою і припишемо всім координатам в цьому стані нульові значення, у тому числі і величині U_і (0). Приймемо k_i = 1, щоб не затінювати суть справи. Отже, нехай

. (2.5)

Знак інтеграла ò ‑ це стилізоване зображення літери S – початкової літери англійського слова sum (сума). Інтегрування – це додавання, накопичення. Інтегратор, таким чином, – це «скарбничка». Нехай процес e(t) має вигляд, показаний на рисунку 2.3.

Рисунок 2.3 ‑ Процес зміни помилки e(t)

Для того, щоб визначити значення U_і (t) до момент t ₁, розіб'ємо інтервал (0; t ₁) на m малих інтервалів тривалістю D t. На кожному такому інтервалі помилку e(t) будемо вважати величиною постійною і рівною, наприклад, її середньому значенню на інтервалі D t. Тоді

. (2.6)

Формула (2.6) роз'яснює значення формули (2.5). Але, якщо угодно, то саме вона є первородною формулою в понятті інтегрування, а формула (2.5) – це граничне значення формули (2.6) при D t ®0. З формули (2.6) виходить, що U_і (t) до моменту t ₁ буде чисельно дорівнювати площі, що заштрихована вертикальними лініями на рисунку 2.4.

Рисунок 2.4 ‑ Площа, що чисельно визначає значення керування U_і (t)

У момент t ₂ > t ₁ керування U_і (t ₂), буде рівне U_і (t ₁) плюс чисельне значення площі, заштрихованої на рисунку 2.4 горизонтальними лініями.

Все сказане дозволяє побудувати графік U_і (t), відповідний графіку e(t), приведеному на рисунках 2.3 та 2.4. Цей графік приведений на рисунку 2.5.

Рисунок 2.5 ‑ Відповідні графіки процесів e(t) і U_і (t)

Залежність показників якості системи при підвищення коефіцієнта k_і І – регулятора відображена у таблиці 2.2.

Таблиця 2.2 – Ефект від підвищення коефіцієнта k_і І – регулятора

Як видно з таблиці 2.2, найважливішою для процесу регулювання є властивість інтегруючого регулятора, що полягає у тому, що керування U_і (t) перестає змінювати своє значення тільки при e(t) = 0. Інакше U_і (t) поступово змінює своє значення до мінімального або конструктивного максимально можливого значення залежно від знаків e(t) і коефіцієнта підсилення k_і. Таким чином, І - регулятори зменшують сталу помилку, тобто підвищують порядок астатизму системи, тому іноді їх ще називають астатичними регуляторами. Разом з тим І - регулятор викликає зменшення запасу стійкості системи.

Часто для поліпшення поведінки системи в перехідному режимі в закон регулювання вводять похідну від сигналу помилки (2.7):

. (2.7)

Алгоритм (2.7) реалізує так званий диференціюючий, або Д - регулятор, на виході якого утворюється керування U_d (t), що пропорційне швидкості зміни помилки e(t).

Таблиця 2.3 відображає залежність показників якості системи при підвищення коефіцієнта k_d Д – регулятора.

Таблиця 2.3 – Ефект від підвищення коефіцієнта k_d Д – регулятора

Слід зазначити, що на практиці окремо використовується лише П – регулятор. Ефективнішим є використовування комбінованих регуляторів, які дозволяють об'єднати позитивні властивості кожного із законів регулювання.

2.2.2 ПІД - регулятор

Найпоширенішим типом регуляторів в промисловій практиці є ПІД – регулятори. Така абревіатура пояснюється тим, що ці регулятори містять канали, що реалізують пропорційний, інтегральний і диференціальний закони регулювання.

Структура системи з ПІД - регулятором приведена на рисунку 2.6. На входи всіх каналів ПІД - регулятора подається помилка e(t) = G (t) – Y _вим(t). На рисунку 2.6 U_p (t), U_і (t) і U_d (t) – вихідні величини пропорційного, інтегруючого і диференціюючого каналів відповідно.

Рисунок 2.6‑ Структура системи з ПІД - регулятором

Таким чином, ПІД - регулятор реалізує наступний закон регулювання:

, (2.8)

а його передаточна функція

. (2.9)

Розглянемо роботу системи з ПІД - регулятором (рисунок 2.7). Припустимо що до деякого моменту часу система керування знаходилася в стані спокою. Приймемо цей момент за t = 0, а стан системи за початок відліку по всіх координатах. Нехай у момент t = 0 бажаний режим роботи був стрибкоподібно змінений: G (t) = А × 1(t), А = const, А > 0. При цьому миттєво виникає помилка e(0) = G (0) ‑ Y _вим(0) = А – 0 = А.

На виході П - каналу миттєво з'явиться керування U_p (0) = k_p × e(t) = k_p × А, яке дасть команду виконавчому механізму на приведення об'єкту в рух у напрямі бажаного режиму.

Керування U_i (0) на виході інтегруючого каналу буде рівне нулю, оскільки інтегратор за дуже малий час ще не «встигне» що-небудь наінтегрувати.

Керування U_d (0) на виході диференціюючого каналу миттєво прийме максимально можливе значення і зразу ж знову стане рівним нулю, оскільки Така обмежена по величині і за часом дія не зробить на виконавчий механізм ніякого впливу.

Якийсь час через свою інерційність ні виконавчий механізм, ні об'єкт не проявлятимуть видимого руху, накопичуючи енергію. Пропорційний канал весь цей початковий час визначатиме керування U_p (t)» А. На виході інтегруючого каналу керування U_і (t) почне мінятися згідно із законом: U_і (t) = k_i × Аt. На виході диференціюючого каналу керування U_d (t) буде практично рівне нулю.

Коли виконавчий механізм, а за ним і об'єкт керування прийдуть у рух, вихідна величина Y (t) об'єкту почне мінятися у напрямку G (t) = А × 1(t). Помилка e(t) = G (t) - Y _вим(t) почне зменшуватися. Керування U_p (t) теж почне зменшуватися. Керування U_i (t), навпаки, збільшуватиметься, оскільки воно як і раніше приблизне визначається формулою U_і (t) = k_і × Аt (рисунок 2.7).

Керування U_d (t) стане негативним, оскільки e(t) = G (t) - Y _вим(t) і при зростанні Y (t) зменшується, тобто має негативну похідну.

Так продовжиться і далі. Керування U_p (t) зменшуватиметься, оскільки зменшується e(t). Керування U_і (t) зростатиме з часом (рисунок 2.7). Керування U_d (t) залишиться негативним і якийсь час збільшуватиметься за абсолютною величиною.

Наявність негативного значення U_d (t) може викликати здивування. Навіщо воно потрібне, адже Y (t) необхідно збільшувати до G (t) = А^. 1(t). Тут необхідно пригадати про те, що виконавчий механізм і об'єкт – це динамічна група, здатна накопичувати енергію і здійснювати власний рух під впливом цієї енергії. Необхідно пригадати і про те, що одна тільки вихідна величина Y (t) не визначає цю енергію.

Рисунок 2.7 ‑ Перехідні процеси в системі з ПІД-регулятором

Що з того, що зараз Y (t) ще менше, ніж G (t) = А ^.1(t)? Можливо, виконавчий механізм і об'єкт вже накопичили таку енергію руху, що Y (t) скоро перевищить значення А і доведеться займатися зворотною задачею – знижувати Y (t) до А? Інформація про , і відчиняє завісу над цією енергією. Негативне керування U_d (t) ‑ це «розумне гальмо» руху незмінної частини.

При правильно обраних коефіцієнтах k_p, k_і і k_d крива Y (t) плавно підійде до бажаного режиму і об'єкт залишиться в ньому. При цьому U_p (t) буде рівне нулю, U_d (t) теж буде рівне нулю, а U_i (t) буде таким, яке здатне підтримувати режим Y _вст = А (рисунок 2.7). Це єдино можливий сталий в системі режим, оскільки саме в ньому e(t) = 0 і U_і (t) не примушується до зміни.

ПІД - регулятори дуже широко поширені на практиці завдяки наступним причинам.

По-перше, ці регулятори достатньо легко реалізуються як програмно в контроллері, так і апаратно, якщо вони є електричними, механічними, пневматичними або гідравлічними пристроями.

По-друге, вони дуже часто забезпечують хороші властивості системи регулювання, забезпечуючи при цьому астатизм 1-го порядку по відношенню до G (t) і f (t).

Крім того, ПІД-регулятори дозволяють проводити настройку своїх коефіцієнтів безпосередньо в процесі експлуатації системи, без використовування надійних моделей виконавчого механізму і об'єкту, розробка яких завжди є непростою задачею.

До принципових недоліків даних регуляторів слід віднести те, що вони борються з збуренням f (t) «наосліп», не маючи інформації про його значення або поведінку в часі. Тому ПІД - регулятори не інваріантні до зовнішніх умов роботи. Регулятор, налаштований (шляхом вибору коефіцієнтів k_p, k_і і k_d) на добру відроботку задаючої дії G (t) = А × 1(t) при f (t) = 0 не забезпечує оптимального придушення збурення f (t) = B ^.1(t) при G (t) = 0. І взагалі, ПІД - регулятор, налаштований на одну комбінацію (G ₁(t), f ₁(t)), не є кращим при іншій парі (G ₂(t), f ₂(t)). Оскільки f (t) ‑ це практично завжди невизначений процес, то проблема вибору кращих в середньому (тільки в середньому) коефіцієнтів IIІД-регулятора так і залишається звичайно до кінця невирішеної.

2.2.3 ПІ - регулятор

ПІ-регулятор не має диференціюючого каналу і його можливості теоретично нижче за можливості ПІД-регулятора. На рисунку 2.8 показані перехідні функції систем з ПІ- та ПІД-регуляторами і незмінною частиною

, ,

що характеризуються мінімальною тривалістю і монотонністю,.

Рисунок 2.8 ‑ Перехідні функції систем з ПІ- та ПІД-регуляторами

Рисунок 2.9 підтверджує теоретичні переваги ПІД-регулятора. Проте, є одна обставина, яка перешкоджає безумовному використанню тільки ПІД-регуляторів.

Справа у тому, що Д-канал ПІД - регулятора дуже підсилює перешкоду h(t) вимірювання вихідної величини Y(t), внаслідок чого загальне керування U(t) буде сильне флуктуйовати, спричиняючи флуктуації управляючої дії V_p(t) (а, отже, і V_ф(t)) і вихідної величини Y(t). Якщо в ПІД - регуляторі використовувати ідеальний диференціюючий канал, то система буде «трястися».

Тому майже завжди послідовно з ідеальною диференціюючою ланкою ставиться фільтр низьких частот (пристрій, що пропускає тільки коливання низьких частот). У якості такого фільтру частіше за все використовується аперіодична ланка 1-го порядку з коефіцієнтом підсилення 1. Тоді Д-канал має структуру, показану на рис. 2.10.

Рисунок 2.10 ‑ Д-канал ПІД-регулятора, що використовується на практиці

Чим більше значення постійної часу Т в аперіодичній ланці 1-го порядку, тим більш вузький діапазон частот, що пропускаються, але тим сильніше систематично викривляється істинна похідна . При значній перешкоді h(t)може виявитися так, що краще всього перейти на використовування ПІ- регулятора, якщо це дозволяють умови стійкості замкнутої системи.