Метод хорд.

Даний метод ґрунтується на лінійній інтерполяції функції F(x)=0 по двом значенням, що мають протилежні по знаку значення функції F(a) та F(b). Метод хорд швидше збігається до розв‘язку навіть при досить малих значеннях e. Потрібно знайти корінь рівняння F(x)=0 на проміжку [a; b], і якщо відомо, що F(x) неперервна на [a; b] і F(a)∙ F(b) < 0. Крім того, перша F'(x) і друга F''(x) похідні функції F(x) зберігають на проміжку [a; b] свій знак. Замінимо функцію F(x) лінійною функцією, яка проходить через вузлові точки (a, F(a)) і (b, F(b)):

Þ (1.7)

Лінійна функція P(x) на кінцях відрізку [a; b] приймає такі ж значення, як і функція F(x)=0.

Рис. 1.5. Знаходження кореня за методом хорд.

В якості першого наближення при знаходженні кореня функції F(x)=0 візьмемо точне значення кореня функції P(x)=0, тобто х₁, яке розрахуємо з рівняння:

Þ (1.8)

При подальшому дослідженні відрізків [a; х₁] та [х₁; b], виберемо той, на якому функція змінює знак. З рис. 1.5 бачимо, що таким відрізком є [a; х₁]. Для вибраного відрізка побудуємо лінійне наближення функції за формулою 1.7, виконаємо розрахунки кореня для лінійного наближення за формулою 1.8. Розрахунки припинимо, коли .

2.1.3.3. Метод січних

Метод січних подібний до методу хорд, тільки точки (х₀, F(х₀)) і (х₁, F(х₁)) взяті з одного боку від кореня рівняння F(x)=0. Геометрична ін-терпретація методу пред-ставлена на рис.1.6.

В якості початко-вого наближення обира-ємо точки (х₀, f(x₀)) та (х₁, f(x₁)).

Рис. 1.6. Знаходження кореня за методом січних.

Через точки (х₀, f(x₀)) та (х₁, f(x₁)) проводимо січну до графіку функції, яка перетинає вісь ох в точці (х₂, 0). Перевіряємо виконання умови , якщо вона не виконується, проводимо січну через точки (х₁, f(x₁)) та (х₂, f(x₂)), знаходимо точку перетину січної з віссю ох (точка (х₃, 0)) і перевіряємо виконання чергової умови , і так до виконання умови виходу з ітераційного процесу.

Для математичного опису методу січних отримаємо формулу прямої, що проходить через дві точки (х₀, f(x₀)) та (х₁, f(x₁)):

(1.9)

Враховуючи, що f(x_n+1) = 0 отримаємо загальну формулу для методу січних:

(1.10)

Метод січних має досить високу збіжність до розв‘язку у випадку, коли F(x)=0 - гладка функція, але в процесі розв’язання деяких рівнянь швидкість збіжності може знижатись (наприклад, на ділянках функції, близьких до функції х = const).