Метод дотичних (Ньютона)

Метод дотичних базується на заміні функції F(x)=0 у точці початкового наближення х₀ дотичною, яка при перетині з віссю ох в точці (х₁, 0) дає перше наближення. У цьому методі Ньютон замість інтерполяції використав екстраполяцію, що знаходиться за допомогою дотичної у визначеній точці. Геометрична інтерпретація методу дотичних (Ньютона) показана на рис. 1.7. В якості початкового наближення обираємо абсцису х₀ = b. У точці (х₀, f(x₀)) про-водимо дотичну до графіку функції, яка перетинає вісь ох в точці (х₁, 0).

Рис. 1.7. Знаходження кореня за методом дотичних.

Перевіряємо виконання умови , якщо вона не виконується, проводимо дотичну в точці (х₁, f(x₁)), знаходимо точку перетину дотичної з віссю ох (точка (х₂, 0)) і перевіряємо виконання чергової умови , і так до виконання умови виходу з ітераційного процесу.

Для математичного опису методу дотичних отримаємо формулу дотичної, що проведена в точці (х₀, f(x₀)) і має кутовий коефіцієнт f'(x₀):

(1.11)

У точці перетину цієї дотичної з віссю ох (точка (х₁, 0)) y = 0, тому формулу 1.11 можемо записати у вигляді:

Þ (1.12)

Для загального випадку формулу Ньютона можемо записати у вигляді:

(1.13)

Метод дотичних (Ньютона) має високу збіжність до розв‘язку, але час виконання ітерації дещо збільшується за рахунок необхідності обчислення похідної f'(x_k).

2.1.3.5 Метод простої ітерації

Замінимо рівняння F(x)=0 рівносильним рівнянням:

x=f(x) (1.14)

Припустимо w – корінь рівняння, а x₀ – отримане будь-яким способом нульове наближення до кореня w. Підставимо x₀ в праву частину рівняння (1.14), отримаємо x₁=f(x₀); x₂=f(x₁); …; x_n=f(x_n-1). Цю числову послідовність називають послідовністю наближень чи ітераційною послідовністю. Послідовність наближень може бути збіжною чи розбіжною.

Теорема: ітераційна послідовність буде збіжною при будь-якому початковому значенні з інтервалу x₀Î [a; b], якщо для рівняння x=f(x), що має єдиний розв’язок на проміжку [a, b], виконуються умови:

1) f(x) визначена і диференційована на [a, b];

2) f(x) визначена для всіх xÎ [a, b];

3) існує таке дійсне q, що для всіх xÎ [a; b].

Умови теорема є достатніми, але не являються необхідними, тому і при їх невиконанні ітераційна послідовність може виявитися збіжною до розв‘язку.

Швидкість збіжності характеризується нерівністю (умова Ліпшиця):

(1.15)

Умовою припинення ітерацій є .

Для забезпечення умови збіжності ітераційного процесу проведемо перетворення рівняння до ітераційного вигляду:

Þ x = x - m× F(x) (1.16)

З умов виконання третьої умови теореми припустимо, що , тоді

f`(x)= 1 – m× F'(x) < 1 (1.17)

достатньо підібрати значення m так, щоб для всіх xÎ [a, b] значення добутку m× F'(x) < 1. Тобто m = 1/(max(F'(x))) для xÎ [a, b].

1.3. Завдання для виконання лабораторної роботи:

1) Створити програму на внутрішній мові середовища МatLAB, що реалізує метод за варіантом (таблиця 1.1), провести тестування створеної програми на прикладі. Точність знаходження розв‘язку e = 0, 01.

Варіанти завдань до лабораторної роботи №1.

Таблиця 1.1

Варіант	Метод	Тестовий приклад*
	метод хорд
	метод січних
	метод простої ітерації
	метод дотичних (Ньютона)
	метод половинного ділення
	метод дотичних (Ньютона)
	метод половинного ділення
	метод хорд
	метод січних
	метод простої ітерації

Примітка: *Створені програми перевірити на прикладі рівнянь (за варіантом), що вводяться користувачем з клавіатури.

2) Оформити звіт з лабораторної роботи. Зміст звіту – у додатку Б. Титульний лист до лабораторних робіт – у додатку А.