О методике решения основных уравнений

Включаем этот раздел, так как отыскивается катастрофический переход, характеризующийся неоднозначностью решений, нахождение которых непростая задача.

В настоящее время не существует надежного математического аппарата для решения нелинейных систем алгебраических уравнений, который бы позволил находить корни этих уравнений формально по стандартным программам. Таких программ пока нет, и каждый исследователь, занимающийся нелинейными задачами, проявляет собственную изобретательность для получения надежного и достоверного решения полученных им уравнений, посвященных частной проблеме.

Предлагаемый параграф объединяет в единое целое ряд известных методов, которые в комплексе позволяют решать уравнения (2.2.5).

Нелинейная система, в общем случае, предполагает соответствие каждому значению нагрузки Р одного или нескольких состояний равновесия, среди которых могут быть и неустойчивые. Существующие методы решения нелинейных систем чувствительны к выбору начального приближения. Проще всего начальное приближение можно выбрать, если известна предыстория нагружения. Наиболее распространенным методом, учитывающим предысторию, является метод последовательных нагружений. Это экстраполяционный метод, в основе которого лежат следующие соображения: если при Р = известно решение системы , то при Р = + Р решением системы будет .

Подставляя эти выражения в (2.2.6) и выделяя главную линейную часть, получим систему уравнений

откуда

Далее, если нам известно решение системы (2.2.6) при Р= , то продолжение решения по Р можно построить следующим образом:

1) задаем

= + P;

2) находим ,

получаем новое решение, соответствующее заданному :

В процессе такого построения решения будет накапливаться ошибка, обусловленная линейностью на каждом участке P, которая может сильно исказить результат. Поэтому время от времени необходимо проводить коррекцию одним из методов решения нелинейных систем. Значение может служить начальным приближением.

Если для этой цели использовать метод Ньютона Канторовича, который на наш взгляд, требует наименьших затрат машинного времени, процесс корректировки представляет собой выполнение процедуры:

Здесь за начальную точку принимается - значение, полученное последовательными нагружениями.

При решении задач прочности процесс последовательных нагружений удобно начинать при Р= 0, когда все известны. Далее, последовательно увеличивая нагрузку постоянным или переменным шагом P = P, получаем всю кривую равновесия (P), вплоть до заданной нагрузки, при которой и требовалось найти решение. Этот удобный для построения кривых равновесия метод может быть применен лишь в зонах, где матрица неособенная, т.е.

в противных случаях производят смену параметра: из массива

выбирают элемент для которого

и используют этот элемент в качестве нового параметра, образуя массив . Массив представляет собой массив , в котором элемент Х (P) заменен на P. Теперь систему (2.2.6) можно записать в виде

и в особой области заменить P на

после чего

в котором