Метод Эйлера

Систему ОДУ часто удается представить в так называемой форме Коши

, (1)

где k=1, 2 …, n.

При формулировке задачи Коши система (1) дополняется начальными условиями

, (2)

Для простоты рассмотрим задачу Коши для одного уравнения типа (1), а затем полученные алгоритмы обобщим в систему n уравнений

(3)

В окрестности точки x₀ функцию у(х) разложим в ряд Тейлора

(4)

который можно применить для приближенного определения искомой функции у (х). В точке x₀ + h при малых значениях можно ограничиться двумя членами ряда (4), тогда

(5)

где O(h²) – бесконечно малая величина порядка h². Заменим производную у' (x₀), входящую в формулу (5), на правую часть уравнения (3)

(6)

Теперь приближенное решение в точке x₁ = х₀ + h можно вновь рассматривать как начальное условие и по формуле (6) найти значение искомой функции в следующей точке х₂=x₁+h. В результате получен простейший алгоритм решения задачи Коши, который называется методом Эйлера, или методом ломаных. Последнее название связано с геометрической интерпретацией процесса (рис.1); искомую функцию у(х) мы замeним ломаной линией, представляющей собой отрезки касательных к этой функции в узлах x₀, x₁,....

Рисунок 1 – Метод Эйлера

Основной недостаток метода Эйлера – невысокая относительно h точность. Он является методом первого порядка точности.

Имеется несколько путей построения численных методов решения задачи Коши более высокой по порядку относительно h точности. Один из них основывается на использовании разложения решения по формуле Тейлора (разложения в ряд). Однако на практике предпочтительнее методы, требующие фактического вычисления только значений правой части уравнения, а не каких-либо ее производных.