Второго порядка

Для уменьшения погрешности метода интегрирования ОДУ, использующего разложение искомого решения I в ряд Тейлора (4), необходимо учитывать большее количество членов ряда. Однако при этом возникает необходимость аппроксимации производных от правых частей ОДУ.

Основная идея методов Рунге-Кутты заключается в том, что производные аппроксимируются через значения функции f(х, у) в точках на интервале [x₀, x₀ + h], которые выбираются из условия наибольшей близости алгоритма к ряду Тейлора. В зависимости от старшей степени h, с которой учитываются члены ряда, построены вычислительные схемы Рунге-Кутты разных порядков точности.

Так, например, для второго порядка получено однопараметрическое семейство схем вида

, (7)

где – свободный параметр,

, .

Решение ОДУ полученное по этой схеме, равномерно сходится к точному решению с погрешностью O(h²).

Для параметра наиболее часто используют значения = 0.5 и = 1.

В первом случае формула (7) приобретает вид:

, (8)

геометрическая интерпретация, которая представлена на рис. 2. Вначале вычисляется приближенное решение ОДУ в точке x₀+h по формуле Эйлера

. 3атем определяется я наклон интегральной кривой в найденной точке , и после нахождения cpeднero наклона на шаге h находится уточненное значение . Схемы подобного типа называют " прогноз-коррекция", что подразумевает грубое вычисление решения по формуле низкого порядка, а затем уточнение с учетом полученной информации о поведении интегральной кривой.

Рисунок 2 – Метод Рунге-Кутты второго порядка ()

Рисунок 3 – Метод Рунге-Кутты второго порядка ()