Система двух линейных уравнений в пространстве. Общие уравнения прямой, приведение к каноническому виду (пример)

Линия в трехмерном пространстве определяется, вообще говоря, пересечением двух поверхностей, т.е. описывается системой двух уравнений.

Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей и, следовательно, описывать системой двух линейных уравнений

при условии, что эти плоскости непараллельны, т.е. их нормальные векторы

₁ = { A ₁, B ₁, C ₁} и

₂ = { A ₂, B ₂, C ₂} неколлинеарны. Эта система уравнений называется общими уравнениями прямой в пространстве.

Прямую линию можно определить как геометрическое место точек, принадлежащих одновременно двум непараллельным плоскостям. Пусть уравнения плоскостей P₁ и P₂ заданы, тогда

определяет прямую линию, и систему (11) называют общим уравнением прямой линии.

Рассмотрим теорию прямой линии в пространстве R³. Очевидно, прямая линия будет полностью определена, если на ней фиксировать точку M₀(x₀, y₀, z₀) и вектор , параллельный этой прямой (рис. 2). Точку M₀ иногда называют начальной точкой, а вектор - направляющим вектором прямой. Получим наиболее употребительные формы уравнения прямой в пространстве.

Пусть - радиус-вектор начальной точки M₀,
- радиус-вектор текущей точки М прямой. Тогда вектор коллинеарен направляющему вектору прямой , следовательно,

где t - некоторое число, называемое параметром. Уравнение (12) называется векторным параметрическим уравнением прямой. Если то можно перейти от уравнения (12) к параметрическим уравнениям прямой в координатном виде:

Изменяя значения t, можно получить координаты любой точки, лежащей на прямой. Из уравнений (13) получим:

Отсюда

Уравнения (14) называются каноническими уравнениями прямой.

Пример 1. Уравнение прямой задано в общем виде

Необходимо записать уравнение прямой в каноническом виде.

Решение. Для записи уравнений (14) нам нужно знать координаты какой-либо точки M₀на прямой и координаты какого-либо направляющего вектора прямой. Находим координаты точки M₀(x₀, y₀, z₀). Для этого одну из координат задаем произвольно (так, чтобы оставшаяся система двух уравнений с двумя неизвестными имела единственное решение), скажем, z₀ = 0. После этого решаем систему относительно x₀ и y₀

Для определения вектора нам нужны координаты еще одной точки M₁ на прямой (рис. 3), тогда в качестве направляющего вектора можно взять вектор

Для вычисления координат M₁ берем, например z₁ = 1, а x₁и y₁ находим из решения системы

Тогда

Канонические уравнения прямой имеют вид