Теорема умножения вероятностей независимых событий

Сформулируем теорему умножения вероятностей независимых событий.

Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Для того чтобы обобщить теорему умножения на несколько событий, введем понятие независимости событий в совокупности.

Определение. Несколько событий называют независимыми в совокупности, если каждое из них и любая комбинация остальных событий (содержащих либо все остальные события, либо часть из них) есть события независимые.

Например, если события А ₁, А ₂ и А ₃ независимые в совокупности, то независимыми являются события: А ₁ и А ₂, А ₁ и А ₃, А ₂ и А ₃, А ₁ А ₂ и А ₃, А ₁ А ₃ и А ₂, А ₂ А ₃ и А ₁.

Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то из этого еще не следует их независимость в совокупности. В этом смысле требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости.

Теперь мы можем сформулировать следствие из теоремы умножения вероятностей, обобщающее теорему умножения на несколько событий.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.

Пример 2.4. Имеется три урны, содержащих по 10 шаров. В первой урне 5 шаров красного цвета, во второй – 4, в третьей – 6. Из каждой урны наудачу вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что все три шара окажутся красного цвета.

Решение. Вероятность того, что из первой урны вынут шар красного цвета (событие А) Р (А) = = 0, 5. Вероятность того, что из второй урны вынут шар красного цвета (событие В) Р (В) = = 0, 4. Вероятность того, что из третьей урны вынут шар красного цвета (событие С) Р (С) = = 0, 6.

Так как события А, В и С независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения) равна

Р (АВС) = Р (А)· Р (В)· Р (С) = 0, 5·0, 4·0, 6 = 0, 12. ◄