Формула Бернулли. Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность Pn(m) того

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность P_n(m) того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях, равна

,

(3.1)

где q = 1 – p.

Пример 3.1. Вероятность поражения мишени в отдельном выстреле равна p = 0, 8. Найти вероятности возможного числа попаданий при 5 выстрелах.

Решение. По условию р = 0, 8, q = 1 – 0, 8 = 0, 2. По формуле Бернулли находим:

= 0, 00032; = 0, 0064;

= 0, 05120; = 0, 2048;

= 0, 4096; = 0, 32768.

Полученные вероятности изобразим графически (рис. 3.1) точками с координатами (m; P_n (m)). Соединяя эти точки, получим многоугольник, или полигон, распределения вероятностей. ◄

Рассматривая многоугольник распределения вероятностей, мы видим, что есть такое значение m (m ₀ = 4), которое обладает наибольшей вероятностью P_n (m).

Число m ₀ наступления события А в n независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность осуществления этого события P_n (m ₀) по крайней мере не меньше вероятностей других событий P_n (m) при любом m.

Наивероятнейшее число наступления события А находится из двойного неравенства

Отметим, что всегда существует целое число m ₀, удовлетворяющее этому неравенству. При этом, если np + p – целое число, то наивероятнейших чисел два: m ₀ = np + p и m ₀ = np – q.

Пример 3.2. В примере 3.1 мы нашли наивероятнейшее число попаданий m ₀=4, непосредственно вычисляя и сравнивая вероятности. Найдем наивероятнейшее число попаданий m ₀, используя неравенство (3.2):

5·0, 8 – 0, 2 ≤ m ₀ ≤ 5·0, 8 + 0, 8 → 3, 8 ≤ m ₀ ≤ 4, 8 → m ₀ = 4. ◄

Предположим, что мы хотим вычислить вероятность P_n (m) появления события А при большом числе испытаний n, например, P ₅₀₀(200). По формуле Бернулли

.

Ясно, что в этом случае непосредственное вычисление по формуле Бернулли технически сложно, тем более, если учесть, что сами p и q – числа дробные. Естественно возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли? Оказывается, можно. Существуют более простые приближенные формулы для вычисления при большом числе испытаний n. Такие формулы называют асимптотическими. Они определяются локальной теоремой Муавра-Лапласа, интегральной теоремой Лапласа, теоремой Пуассона.