Вероятность появления хотя бы одного события

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А ₁, А ₂, …, А_n, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :

(2.7)

Пример 2.5. Три стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0, 7, второго – 0, 8 и третьего – 0, 9. Найти вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в мишень.

Решение. Рассмотрим следующие события: А – хотя бы один стрелок попадет в мишень А ₁ – первый стрелок попадет в мишень, А ₂ – второй стрелок, А ₃ – третий стрелок. Вероятность попадания в мишень каждым из стрелков не зависит от результатов стрельбы других стрелков, поэтому события А ₁, А ₂ и А ₃ независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям А ₁, А ₂ и А ₃ (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:

= 1 – 0, 7 = 0, 3;

= 1 – 0, 8 = 0, 2;

= 1 – 0, 9 = 0, 1.

Искомая вероятность

= 1 – 0, 3·0, 2·0, 1 = 0, 994. ◄

Частный случай. Если события А ₁, А ₂, …, А_n имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

где q = 1 – p.