Квадратные матрицы

Понятие матрицы

Прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов, называется матрицей размеров . Для записи матрицы используются круглые или квадратные или двойные вертикальные скобки:

Числа, входящие в описание матрицы, называемые ее элементами (или компонентами), характеризуются как своим значением, так и номерами строк и столбцов. Условимся обозначать элемент матрицы, расположенный в i -й строке и j -м столбце, как ). Часто вместо подробной записи употребляют сокращенную: или даже . С помощью матриц удобно записывать некоторые экономические зависимости.

Пример

Имеется предприятие, выпускающее 4 вида изделий из 3-х видов сырья. Табл. 1 представляет расход каждого вида сырья на выпуск 1 единицы продукции и их запас на предприятии.

Таблица 1

Она может быть записана в виде матрицы распределения ресурсов на выпуск 1ед. каждого вида продукции:

=

Размерность этой матрицы 3´ 4. В этой записи матричный элемент =7 показывает, сколько ресурса второго вида необходимо затратить для производства 1 ед. третьего вида продукции. Запас ресурсов можно записать в виде такой матрицы:

Матрица состоит из 3-х строк и одного столбца. Элемент показывает запас ресурса второго вида.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Назовём матрицу произвольных размеров трапециевидной, если она имеет вид:

где отличны от нуля.

Квадратные матрицы

Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то матрица называется квадратной, а число ее строк (равное числу столбцов) – порядком квадратной матрицы:

.

Элементы образуют главную диагональ квадратной матрицы, а элементы – побочную диагональ матрицы.

Квадратная матрица называется треугольной, если все ее элементы, которые находятся ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю, т.е. треугольная матрица имеет вид

или .

При этом матрицу называют верхнетреугольной, а матрицу – нижнетреугольной. Матрица, у которой элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной. Если в диагональной матрице элементы главной диагонали равны единице (остальные нули), то матрица называется единичной.

– единичная матрица.