Ранг матрицы

1. Ранее для квадратной матрицы -го порядка было введено понятие минора элемента . Напомним, что так был назван определитель порядка , полученный из определителя вычеркиванием -й строки и -го столбца.

Введем теперь понятие минора матрицы. Рассмотрим некоторую, не обязательно квадратную матрицу . Выберем какие-нибудь номеров строк и номеров столбцов .

Минором порядка матрицы (соответствующим выбранным строкам и столбцам) называется определитель порядка , образованный элементами, стоящими на пересечении выбранных строк и столбцов, т.е. число

.

Каждая матрица имеет столько миноров данного порядка , сколькими способами можно выбрать номера строк и столбцов .

В матрице размеров минор порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка равны нулю или миноров порядка вообще нет, т.е. совпадает с меньшим из чисел или .

Ясно, что в матрице может быть несколько разных базисных миноров. Все базисные миноры имеют один и тот же порядок. Действительно, если все миноры порядка равны нулю, то равны нулю и все миноры порядка , а, следовательно, и всех бό льших порядков. Это становится очевидным, если разложить минор порядка по элементам какой-либо строки (столбца): все миноры элементов этой строки являются определителями порядка , а поэтому равны нулю.

Рангом матрицы называется порядок базисного минора, или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг такой матрицы, по определению, считают нулем.

Ранг матрицы будем обозначать символом . Из определения ранга следует, что для матрицы размеров справедливо соотношение .

2. Два способа вычисления ранга матрицы.

а) Метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице найден минор -го порядка, отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры -го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор : если все они равны нулю, то ранг матрицы равен . В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор -го порядка, и вся процедура повторяется.

Типовой пример. Вычислить методом окаймления ранг матрицы

.

Минор второго порядка, стоящий в левом верхнем углу, отличен от нуля:

.

Теперь вычислим миноры, окаймляющие данный. Таковых два:

,

.

Таким образом, оба окаймляющих минора равны нулю и, следовательно, ранг исходной матрицы равен двум: .

Ясно, что перебирать таким способом миноры в поисках базисного – задача, связанная с большими вычислениями, если размеры матрицы не очень малы. Существует, однако, более простой способ нахождения ранга матрицы – при помощи элементарных преобразований.

б) Метод элементарных преобразований. Напомним, э лементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к одной строке другой строки;

3) перестановку строк;

4) такие преобразования столбцов.

Преобразования 1 и 2 выполняются поэлементно. Комбинируя преобразования первого и второго вида, мы можем к любой строке прибавить линейную комбинацию остальных строк.

ТЕОРЕМА. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.