![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Определители. Свойства. Вычисление
1. Квадратной матрице
Определитель третьего порядка можно вычислять по правилу треугольников (правилу Саррюса). Схема вычисления:
Типовые примеры. Вычислить определитель. 1) ► 2)
=-28 +16= - 12.◄ 3) =(0+12+16)-(0+12+4)=28-16=12. ◄ Прежде, чем сформулировать определение определителя 2. Перестановки. Перестановкой чисел Число различных перестановок, которые можно составить из чисел Пусть дана какая-то перестановка Типовой пример. В перестановке
Условимся обозначать общее число инверсий в перестановке Так в рассмотренном выше Типовой примере перестановка содержала 3 инверсии и, следовательно, является нечетной. Заметим, что перестановка 3. Определитель
где суммирование распространяется на все перестановки 4. Свойства определителей. Сформулируем без доказательства ряд свойств, которыми обладает произвольный определитель 1) Свойство равноправности строк и столбцов. При транспонировании величина определителя сохраняется, т.е. 2) При перестановке местами 2-х строк определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный. 3) Линейное свойство определителя. Если все элементы
то исходный определитель можно представить в виде суммы двух определителей, у которых элементами
Конечно линейное свойство справедливо и для случая, когда Приведенные три свойства являются основными свойствами определителя. Все следующие свойства являются логическими следствиями трех основных свойств. 4) Определитель с двумя одинаковыми строками равен нулю. В самом деле, при перестановке двух одинаковых строк, с одной стороны, определитель 5) Умножение всех элементов некоторой строки определителя на число 6) Если все элементы некоторой строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю. Это свойство вытекает из свойства 5 при 7) Если элементы двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. В самом деле, в силу свойства 5 множитель пропорциональности можно вынести за знак определителя, после чего останется определитель с двумя одинаковыми строками, который равен нулю согласно свойству 4. 8 ) Если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на произвольный множитель 9) Определитель произведения матриц. Если 5. Вычисление определителей Алгебраическим дополнением
ТЕОРЕМА. Определитель матрицы
называемое разложением определителя Аналогично для
Методы вычисления определителей. 1) Разложение по строке или столбцу. 2) Метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца. Метод состоит в том, что с учетом свойств определителя при помощи какого-либо столбца (строки) путём умножения его на соответствующие числа и вычитания из остальных столбцов (строк), все элементы выбранной строки (столбца) кроме одного обращаются в нуль, принадлежащего вычитаемому столбцу (строке). 3) Метод приведения к треугольному виду. Алгоритм, предложенный в предыдущем пункте, используется для последовательного преобразования определителя к треугольному виду. Величина такого определителя равна произведению элементов главной диагонали. Типовые примеры. Вычислить определитель. 1) например, и т.д.◄ 2)► 3)
4) Вычислить данный определитель четвёртого порядка с помощью разложения по строке или столбцу: ► Удобнее всего делать разложение по строке или столбцу, в которых встречается наибольшее число нулевых элементов. В данном случае – это четвёртый столбец. Итак, имеем
Полученные в итоге два определителя третьего порядка вычислим тем же методом. В определителе ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
Таким образом окончательно получим
5) Используя метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца вычислить определитель матрицы ► Будем обращать в нуль все, кроме первого, элементы первой строки. С этой целью вычтем из второго, третьего и четвёртого столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2, 3 и 4. Получим Представленный в таком виде определитель разложим по первой строке: Определитель третьего порядка, к которому свёлся исходный определитель, будем вычислять тем же способом. Вычтем из второго и третьего столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2 и 7. Получим (попутно вынося общие множители из столбцов)
![]() 6) Используя метод приведения к треугольному виду вычислить определитель ► Воспользуемся видом определителя
Далее с помощью второго столбца обратим в нуль элементы второй строки, кроме первых двух, для чего вычтем из третьего и четвёртого столбцов второй столбец, умноженный соответственно на 2 и 7. Получим (попутно вынося общие множители из столбцов) Наконец, вычтем третий столбец из четвёртого, в результате чего определитель сведётся к треугольному виду, величина которого равна произведению элементов главной диагонали:
§3. Обратная матрица.
1. Как известно, для каждого числа Пусть
Матрицу, обратную к матрице 2. Способы вычисления обратной матрицы. Если для квадратной матрицы Лемма. Если обратная матрица существует, то она единственна. Квадратная матрица Пусть матрица
ТЕОРЕМА. Если
где Замечание. Обратим внимание на расположение чисел Типовой пример. Найдите ►
Обратите внимание на индексацию алгебраических дополнений. Вычисляем алгебраические дополнения
Тогда
Можно сделать проверку:
3. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований. Элементарные преобразования матрицы. 1. Перестановка строк (столбцов). 2. Умножение строки (столбца) на число 3. Прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на любое число. Чтобы найти матрицу, обратную данной, делаем следующее: - для матрицы - с помощью элементарных преобразований приводим матрицу Типовой пример. Найти матрицу, обратную данной: ►
Проверка: С помощью обратной матрицы можно решать простейшие матричные уравнения, где неизвестной является матрица X. Это уравнения следующего вида
В этих уравнениях
Требуется найти: 1) годовую производительность каждого предприятия по каждому виду продукции; 2) годовую потребность каждого предприятия по каждому виду ресурса; 3) годовую сумму кредитования каждого предприятия для закупки ресурсов, необходимых для выпуска продукции указанных видов и при определенном количестве рабочих дней. ► Введем следующие обозначения.
Данная матрица является матрицей производительности пяти предприятий по всем 4 видам продукции. Каждый столбец этой матрицы соответствует дневной производительности отдельного предприятия по каждому виду изделий. Следовательно, годовая производительность
А 11=0, 79 А 21=0, 16 А 31=0, 02 А 12=0, 16 А 22=0, 8 А 32=0, 1 А 13=0, 02 А 23=0, 1 А 33=0, 96,
тогда Это матрица коэффициентов полных материальных затрат. б) в) Найдем производственную программу каждого цеха (промежуточный продукт) по формуле
В результате получим следующую таблицу:
г) Коэффициенты косвенных затрат
4. Невырожденная квадратная матрица ТЕОРЕМА. Для ортогональной матрицы ТЕОРЕМА. Каждая ортогональная матрица второго порядка
|