Счетной аппаратуры

Проверяется выполнение распределения Пуассона при анализе данных, полученных на счетной установке. В математической статистике показано, что выборочная дисперсия s ² связана с дисперсией генеральной совокупности σ ² следующим уравнением:

, (7.15)

где χ ² – распределение «хи-квадрат» или распределение Пирсона, математическое ожидание которого равно k – 1, где k – число независимых экспериментов.

При проверке правильности работы счетной аппаратуры проводят k определений одного и того же препарата без изменения его положения. Тогда выборочная дисперсия s ² может быть рассчитана по уравнению:

. (7.16)

Подставив (7.16) в (7.15), получим с учетом :

. (7.17)

В таблицах распределения Пирсона даны вероятности P того, что значение χ ² будет больше приведенного в таблице значения. Обычно значимым отклонением от распределения Пуассона считаются случаи, когда вероятность P больше 0, 95 или меньше 0, 05.

В табл. 7.2 представлены значения χ ² для P = 0, 95 и 0, 05 в зависимости от числа степеней свободы k – 1. Видно, что отношение сначала быстро уменьшается с ростом числа степеней свободы от 1 (980) до 9 (5, 08), а затем уменьшение замедляется и при 19 оно равно 2, 97, а при 40 – 2, 10. Поэтому обычно число опытов при использовании этого метода должно быть больше 9, но редко, когда оно превосходит 20.

Таблица 7.2

Значения χ ² для P = 0, 95 и 0, 05 в зависимости от числа степеней свободы k – 1

k – 1
P = 0, 95	0, 0039	0, 352	1, 145	2, 17	3, 33	6, 57	10, 1	13, 85	17, 71	26, 50
P = 0, 05	3, 84	7, 81	11, 07	14, 07	16, 90	23, 70	30, 10	36, 40	42, 60	55, 80
		22, 20	9, 67	6, 48	5, 08	3, 61	2, 97	2, 63	2, 41	2, 10

Возникает вопрос: что делать, если значение χ ² выходит за пределы интервала доверительной вероятности 0, 95 > P > 0, 05? Вероятность такого события достаточно большая – 0, 10, т.е. в каждом десятом случае возможно получение значения χ ², которое больше или меньше значений, приведенных в табл. 7.2. Если это произошло, например, χ ² > , то можно рекомендовать простую процедуру. Необходимо провести дополнительно не менее 10 измерений одного и того же препарата в близких условиях и рассчитать снова значение χ ². Если оно снова окажется в той же области: χ ² > , то вероятность того, что такое событие произошло случайно, будет равна произведению 0, 05· 0, 05 = 0, 0025, т.е. очень мала и следует признать, что аппаратура действительно работает неправильно.