Студопедия

Главная страница Случайная страница

КАТЕГОРИИ:

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника






Метод множників Лагранжа






Для розв’язання задач нелінійного програмування не існує універсального методу, а тому доводиться застосовувати багато методів і обчислювальних алгоритмів, які в основному ґрунтуються на теорії диференціального числення.

Оптимізаційні задачі, на змінні яких накладаються обмеження, вирішуються методами класичної математики. Оптимізацію з обмеженнями-рівностями можна виконати, наприклад, методом множників Лагранжа.

Розглянемо метод множників Лагранжа на прикладі такої задачі нелінійного програмування:

де та – диференційовані.

Ідея методу Лагранжа полягає в заміні даної задачі більш простою – знаходження екстремуму більш складної функції, але без обмежень. Ця функція називається функцією Лагранжа і записується у вигляді:

де – невизначені поки що величини, так звані множники Лагранжа.

 

Необхідною умовою екстремуму функції багатьох змінних є рівність нулю приватних похідних щодо всіх змінних функції. Обчислимо ці приватні похідні і прирівняємо їх до нуля:

або

 

Вирішивши систему рівнянь, знайдемо – стаціонарні точки. Оскільки вони знайдені з необхідної умови екстремуму, то в них можливий максимум або мінімум. Іноді стаціонарна точка є точкою перегибу графіка функції.

Теорема. Нехай навкруги критичної точки (x0; y0) функція F (x, y) має безперервні приватні похідні до другого порядку включно.

Складемо матрицю такого виду:

 

 
 

 


Обчислимо та визначник матриці Н(х, у):

 
 

 

 


Якщо > 0, то у точці (х0, у0) досліджувана функція має екстремум.

Якщо при цьому , то у заданій точці функція досягає мінімального значення; якщо , то – максимального значення.

 


Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.005 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал