![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Практичне застосування методу множників Лагранжа⇐ ПредыдущаяСтр 15 из 15
Розглянемо економічний зміст множників Лагранжа. Для цього розглянемо задачу нелінійного програмування з визначення оптимального плану виробництва продукції при обмежених ресурсах: Головною метою виробництва продукції є отримання найбільшого прибутку від її реалізації, тому цільовою функцією Z завдання є прибуток від реалізації продукції обсягом Х=(х1, х2,..., хn) одиниць. При цьому функція f(х1, х2,...хn) – нелінійна. Запишемо систему обмежень у вигляді Якщо Розглянемо функцію Лагранжа для даної задачі: Отже, Приклад. Фірма планує витратити 20000 грн. на рекламу. Одна хвилина реклами на телебаченні коштує 1000 грн., а на радіо – 500 грн. Аналітики фірми прогнозують збільшення приросту доходу фірми від використання рекламних засобів за функцією: де Z(x, y) – приріст доходу фірми (тис. грн.) від реклами; х – тривалість (хв.) рекламного ролика на телебаченні; y – тривалість (хв.) рекламного ролика на радіо.
Яким чином потрібно з'єднати рекламу на телебаченні і радіо, щоб отримати максимальне значення приросту доходу фірми, економно використавши при цьому наявні грошові кошти на рекламу? Рішення. Цільова функція – це максимум приросту доходу фірми. при виконанні таких умов: а) за наявністю грошових коштів на рекламу: 1000 x + 500 y = 20000; б) відносно невід’ємності змінних: Оптимальне рішення знаходимо за допомогою методу множників Лагранжа. Функція Лагранжа набуває вигляду: Приватні похідні прирівнюємо до нуля: Отримаємо систему рівнянь: Зробимо відповідні перетворення: Складемо перші рівняння останньої системи та отримаємо:
Рішення систему рівнянь:
Переконаємося, чи досягає наша функція екстремального значення в знайденій точці. Для цього на основі вищезгаданої теореми знайдемо приватні похідні першого порядку заданої функції: Знайдемо приватні похідні другого порядку: Отже Згідно з умовою теореми стверджуємо, що точка з координатами Фірма отримає додатковий дохід від використання реклами у розмірі 28 4/7 тис. грн. якщо гроші, призначені на рекламу, будуть використані на 14 2/7 хв. реклами на телебаченні та 11 3/7 хв. – на радіо.
Питання для самоконтролю: 1. Які задачі відносяться до задач нелінійного програмування? 2. Охарактеризуйте економічну сутність методу множників Логранжа. 3. Наведіть практичні аспекти застосування методу множників Логранжа. Рекомендована література: основна: [1, 2, 4, 5, 6, 9]; додаткова: [3, 7, 8, 10-21].
|