Компоненты корреляционной матрицы показателей интеллекта

Собственные значения выделяются в порядке их убывания в соответствии с осями эллипсоида разброса наблюдений. Количество выделяемых компонент (и собственных значений) равно числу переменных. Сумма всех собственных значений равна количеству переменных. Отметим, что если бы все корреля­ции между исходными переменными были бы равны нулю, то каждое соб­ственное значение равнялось бы 1. Чем выше корреляции между переменны­ми, тем больше предыдущие собственные значения и меньше — последующие. Собственное значение, деленное на количество переменных, есть доля дис­персии, соответствующая данной компоненте. Все компоненты исчерпывают 100% совокупной дисперсии переменных.

Каждый элемент a_ik матрицы А — это компонентная нагрузка переменной i (строка) по компоненте k (столбец). Компонентная (как и факторная) нагруз­ка — аналог коэффициента корреляции, мера связи переменной i и компо­ненты k. Соответственно, квадрат компонентной нагрузки (как и корреля­ции) приобретает смысл части дисперсии, в данном случае — части дисперсии переменной, объясняемой соответствующей компонентой. Сумма квадратов всех компонентных нагрузок по строке равна 1, полной дисперсии перемен­ной (в z -значениях).

Таким образом, полная единичная дисперсия каждой переменной разло­жена по компонентам. Сумма квадратов всех компонентных нагрузок по стол­бцу равна собственному значению данной компоненты:

(16.2)

где i — номер компоненты, j — номера переменных (количеством Р).

Как было указано, это собственное значение, деленное на количество переменных, есть доля дисперсии, соответствующая данной компоненте, и используется как показатель информативности компоненты.

Уравнение 16.1 позволяет восстановить коэффициенты корреляции по матрице компонентных нагрузок А, так как произведение этой матрицы на саму себя транспонированную дает корреляционную матрицу. В соответствии с правилом умножения матриц, каждый коэффициент корреляции r_ij может быть восстановлен через компонентные нагрузки, как сумма всех (по строке) произведений нагрузок для этих двух переменных по каждой компоненте. Восстановленный коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

(16.3)

где i, j — номера переменных в корреляционной матрице; k — номер компоненты; М — количество компонент; а — компонентные нагрузки. Так, вос­становленная корреляция между переменными 3 и 5:

Заметим, что диагональный элемент корреляционной матрицы, как корреляция признака с самим собой (i=j), равен сумме квадратов всех компонентных нагрузок данной переменной — по строке, то есть 1.

Исследователь может воспользоваться анализом главных компонент как упрощенным вариантом факторного анализа. Тогда он выберет не все компоненты, а только главные, объясняющие большую часть дисперсии. В данном случае главными будут первые две компоненты, объясняющие 81% суммар­ной дисперсии переменных.

Переход к главным компонентам позволяет ввести еще одно важное поня­тие факторного анализа. Общность (Communality) — часть дисперсии перемен­ной, объясняемая главными компонентами (факторами), вычисляется как сумма квадратов нагрузок по строке:

(16.4)

где i — номер переменной, k — номер (главной) компоненты. Например, если по таблице 16.3 выделяются две главные компоненты, то общность переменной 1: = 0, 77² + (-0.58)² = 0, 93, а общность переменной 4: = 0, 68² + 0, 53² = 0, 74. То есть первые две компоненты исчерпывают 93% дисперсии переменой 1 и 74% дисперсии переменной 4.

Восстановленные только по главным компонентам коэффициенты корреля­ции (по формуле 16.3) будут меньше исходных по абсолютной величине, а на ди­агонали восстановленной корреляционной матрицы будут не 1, а величины общ­ностей.

Анализ главных компонент в «чистом виде» используется для решения од­ной из ключевых проблем факторного анализа — проблемы числа факторов.

Принцип выделения «главных факторов» в факторном анализе тот же, что и при анализе главных компонент. Но в отличие от компонентного анализа факторный анализ направлен на объяснение корреляций между переменны­ми, а не только компонент дисперсии.

Факторная структура (Factor Structure Matrix) — основной результат приме­нения факторного анализа. Элементы факторной структуры — факторные на­грузки (Factor Loadings) переменных a_ik, аналогичные компонентным нагруз­кам (см. табл. 16.3). Однако основное требование их получения, в отличие от анализа главных компонент, — максимально полное отражение исходных коэф­фициентов корреляции. Поэтому основное уравнение факторного анализа:

= А – A’ при условии –> R, (16.5)

где R — исходная матрица интеркорреляций; — матрица восстановленных коэффициентов корреляции; А — матрица факторных нагрузок размерностью, столбцы которой — факторные нагрузки Р переменных по М факторам; А' — транспонированная матрица А. Отличие уравнения 16.5 от сходного с ним уравнения компонентного анализа (16.1) в том, что матрица факторных нагрузок А вычисляется таким образом, чтобы восстановленные коэффициенты корреляции минимально отличались от исходных корреляций.

Рассмотрим искомую факторную структуру в общем виде, как матрицу факторных нагрузок (табл. 16.4). В этой таблице Р строк, соответствующих переменным, и М столбцов — факторов. Значение a_ik — это факторная нагрузка переменной i по фактору k. Соотношения величин в этой таблице иден­тично соотношениям в таблице компонентных нагрузок. Собственное значе­ние (Eigenvalue) каждого фактора , по формуле 16.2, равно сумме квадратов факторных нагрузок всех переменных по фактору k (по столбцу). Общность каждой переменной , в соответствии с формулой 16.4, равна сумме квадра­тов факторных нагрузок переменной i по всем факторам. Коэффициент кор­реляции между любыми двумя переменными может быть восстановлен по этой таблице, как сумма произведений факторных нагрузок по соответствующим строкам (по формуле 16.3).

Таблица 16.4