Проблема оценки значений факторов

После интерпретации факторной структуры допустима оценка значений факторов для объектов. Это позволяет перейти от множества исходных переменных к существенно меньшему числу факторов как новых переменных. Это может понадобиться исследователю как для более компактного представления различий между объектами (или их группами), так и для дальнейшего анализа — регрессионного, дисперсионного и т. д. В этом смысле факторный анализ как общенаучный метод выполняет задачу сокращения размерности набора переменных с минимальными потерями исходной информации.

В качестве оценки значения фактора i для объекта k используется линейная комбинация значений исходных переменных X:

(16.6)

где — значение фактора с номером i для объекта k; — значение признака с номером j для этого объекта; — факторный коэффициент признака; для фактора i.

Поскольку известны корреляции между исходными переменными и корреляции этих переменных с факторами (факторные нагрузки), то в качестве наиболее состоятельной оценки факторных коэффициентов чаще всего вы­ступают коэффициенты множественной регрессии. В качестве «зависимой» пе­ременной выступает фактор, в качестве «независимых» — исходные перемен­ные, а вычисления производятся по формуле 15.3.

Вычисленные по модели множественной регрессии оценки факторных коэффициентов далее используются для вычисления всех оценок значений факторов для каждого объекта по формуле 16.6. Таким образом, исследова­тель переходит от множества Р переменных к небольшому числу М новых переменных-факторов, интерпретируемых через исходные переменные. Отметим, что средние значения каждой такой новой переменной для всех объек­тов равно 0, а стандартное отклонение близко (но меньше) 1.

Проблема оценки значений факторов связана с тем, что невозможно точно выразить общий фактор через исходные переменные, так как каждая из этих переменных содержит помимо общности и характерную часть, которую не­возможно отделить. Поэтому можно получить лишь оценку значений факторов по исходным переменным, надежность которой обладает большей или меньшей определенностью — в зависимости от вида исходных данных и фак­торной структуры.

Зависимость надежности факторных оценок от факторной структуры выражается в следующем. Чем меньше суммарная общность всех переменных, тем меньше надежность факторных оценок всех факторов. Чем меньше информативность фактора (сумма квадратов факторных нагрузок по столбцу), тем меньше надежность факторных оценок данного фактора.

В связи с надежностью факторных оценок особое значение приобретает качество измерения исходных переменных. Чем больше исходные переменные соответствуют требованиям, которые предъявляются к метрическим перемен­ным, тем надежнее факторные оценки. Если переменные измерены в поряд­ковой или, тем более, в дихотомической шкале, то надежность факторных оценок снижается до непредсказуемого уровня. Тем не менее, некоторые авторы (см. К. Иберла, 1980) на основе факторного моделирования доказыва­ют, что в случае исходных порядковых и даже дихотомических данных фак­торные оценки могут быть состоятельными. Условиями состоятельности факторных оценок являются действительно простая факторная структура, а также высокие значения общностей и факторных нагрузок переменных.

В заключение обзора математико-статистических идей факторного анализа заметим, что современный факторный анализ — изящная математическая процедура, имеющая достаточное статистическое обоснование. Это вы­годно отличает данный метод от остальных. Эта изящность, наряду с исходным психологическим обоснованием, однако, часто вводит в заблуждение нович­ка, ожидающего получить «готовый ответ» в результате применения фактор­ного анализа. Необходимо помнить, что факторный анализ не добавляет никакой новой информации к эмпирическим данным. Его задача — в обеспечении возможности интерпретировать данные. Качество же интерпретации целиком зависит от исследователя, от того, насколько и как он понимает исходные измерения, основы и процедуру факторного анализа.