Обработка результатов эксперимента первого порядка.

Постановка задачи эксперимента

Исследовалась зависимость производительности процесса и износа электрода-инструмента при электроэрозионной прошивки отверстий Ø 0.5 мм, от энергии импульсов тока и частоты следования импульсов.

Прошивка отверстий производится на электроэрозионном станке модели СЭП.МЕП-1-005. В качестве электрода-инструмента использовались трубчатые латунные электроды, через которые под давлением до 20 МПа прокачивалась рабочая жидкость – деионизованная вода. В качестве источника технологического тока использовался транзисторный генератор импульсов, с помощью которого устанавливались требуемое значения входных переменных параметров процесса – факторов: энергии импульсов тока (Э) и частоты импульсов (f). Выходными параметрами процесса являлись: производительность процесса, Q – линейная скорость прошивки отверстий в мм/мин и относительный линейный износ электрода-инструмента γ в %. Скорость прошивки измерялась с помощью секундомера и отчетных устройств перемещения прошивочной головки станка. Относительный линейный износ электрода-инструмента определялся путем измерения глубины полученного отверстия и величины укорочения электрода после каждого опыта с помощью указанных отсчетных устройств. Уровни факторов Q, f и интервалы их варьирования выбраны по результатам предварительных поисковых экспериментов. Остальные факторы: давление прокачки воды, настройка следящего привода подачи, скважность импульсов тока, оставались в эксперименте неизменными.

Исходные данные эксперимента

Таблица 1. Факторы, уровни и интервалы варьирования факторов.

Таблица 2. Матрица плана первого порядка типа 2² и результаты его опытов

№ опыта	x0	x1	x2	Верхний параметр
Производительность, yQ	Износ электрода, yγ (%)
1	+	+	+	29	55.5
2	+	-	+	38	39.5
3	+	+	-	56	39
4	+	-	-	88	24

Таблица 3. Результаты опытов в центре плана

Таблица 4. Результаты опытов в “звездных” точках плана

Для графоаналитических исследований поверхности отклика принять ограниченный параметр по износу электрода-инструмента 33%

Принять достоверность статистической оценки результатов эксперимента 95%

Задачи эксперимента

1. Обработать результаты эксперимента первого порядка типа 2² для обоих выходных параметров γ и Q, в том числе:

а) вычислить коэффициенты линейного уравнения регрессии вида y=b₀+b₁x₁+b₂x_2;

б) определить значимость коэффициентов;

в) проверить адекватность математической модели.

2. Обработка результатов опытов центрального композиционного рототабельного униформ-планирования второго порядка для обоих выходных параметров, в том числе:

а) составить полный план эксперимента и уравнение регрессии в общем виде;

б) вычислить коэффициенты квадратичной математической модели;

в) определить значимость коэффициентов уравнения регрессии и уточнить исходную модель;

г) проверить адекватность математической модели;

д) раскодировать уравнение регрессии.

3. Используя графоаналитический метод двумерных совмещенных сечений поверхностей отклика, найти наибольшее и наименьшее значения производительности процесса электроэрозионной прошивке отверстий и соответствующие им режимы обработки, при которых износ электрода-инструмента составляет 33%.

4. Используя компьютерную программу MathCAD и полученные квадратичные математические модели построить трехмерные графики зависимости Q=F₁(Э, f), γ =F₂(Э, f). На графиках выделить факторное пространство. По виду графиков сделать выводы в том числе:

а) наличие экстремумов функции в факторном пространстве и за его пределами;

б) выделить точки наибольших и наименьших значений выходных параметров в факторном пространстве.

Обработка результатов эксперимента первого порядка.

В соответствии с заданием на первом этапе исследования был поставлен полный факторный эксперимент типа 2². Уровни факторов и интервалы их варьирования даны в таблице 1. Матрица плана эксперимента и результаты измерения выходных параметров y_γ и y_Q в соответствии с условиями задачи приведены в таблице 2. В математической модели выбираем линейное уравнение регрессии вида

y=b₀+b₁x₁+b₂x₂.

Определим коэффициенты уравнения регрессии для параметра y_Q:

b₀= = (29+38+56+88)=52.75

b₁= = (29-38+56-88)=-10.25

b₂= = (29+38-56-88)=-19.25

После подстановки значений коэффициентов, уравнение регрессии y_Q приобретает вид:

y_Q=52.75-10.25x₁-19.25x₂

Для определения значимости коэффициентов используем результаты пяти параллельных опытов в центре плана (см. таблицу 3 исходных данных) при этом необходимые расчеты производим по следующей последовательности:

1) Определяем среднее арифметическое значение параметра y_Q:

= (26+23+27+24+26)=25.2

где n₀=5 – число параллельных опытов в центре плана, - значение выходных параметров в u-том параллельном опыте,

2) Определим дисперсию σ выходного параметра y_Q:

σ = =

=

3) Определим среднеквадратичную ошибку в определении коэффициентов уравнения регрессии для y_Q:

σ {b_i}= =± =0.822

4) Определяем доверительный интервал коэффициентов уравнения регрессии для y_Q:

где t – табличное значение критерия Стьюдента при 5%-ном уровне значимости и числе степеней свободы, с которым определялась дисперсия выходного параметра y_Q: f=n₀-1=5--1=4

5) Так как коэффициенты b₂, b₁, b₀ по абсолютной величине больше доверительного интервала =2.284, то все они являются статистическими значимыми.

Для проверки адекватности математической модели y_Q=52.75-10.25x₁-19.25x₂ находим дисперсию адекватности:

,

где y_Qj – экспериментальное значение параметра y_Q в j – том опыте; ŷ _Qj – значение параметра y_Q в j – том опыте, вычисленное в по полученному уравнению регрессии: , где k’=3 – число значимых коэффициентов уравнения регрессии.

Для расчета дисперсии адекватности составим вспомогательную таблицу 6.

Таблица 6.

(y_Qj- ŷ _Qj)²=132.25

Тогда

=

Проверку гипотезы адекватности модели проводим по F критерию Фишера. Для этого найдем расчетное значение критерия:

48.981

При 5% - ном уровне значимости и числах степеней свободы для числителя, имеющего большую дисперсию, и для знаменателя с меньшей дисперсией - , табличное значение критерия F_т=7, 71. Так как F_р> F_т, то полученная в виде линейного полинома, неадекватна и не может быть с достаточной точностью предоставлять исследуемую зависимость.

Аналогичные расчеты произведем для параметра y_γ .

В соответствии с данными табл. 5 определяем коэффициенты уравнения регрессии для параметра y_γ :

b₀= = (55.5+39.5+39+24)=39.5

b₁= = (55.5-39.5+39-24)=7.75

b₂= = (55.5+39.5-39-24)=8

Откуда уравнение регрессии для y_γ будет иметь вид:

y_γ =39.5+7.75x₁ +8 x₂.

По n₀=5 параллельным опытам в центре плана (табл. 3) определяем среднеарифметическое значение параметра:

(31+28+32+29.5+30.5)=30.2

Определяем дисперсию параметра y_γ :

= = =2.325

Определяем среднеквадратичную ошибку в определении коэффициентов уравнения регрессии для y_γ :

σ {b_i}=+

Определяем доверительный интервал коэффициентов уравнения регрессии для y_γ :

Все коэффициенты b₀, b₁, b₂ больше доверительного интервала, следовательно, их можно признать статистически значимыми.

Для расчета дисперсии адекватности для y_γ составим вспомогательную таблицу 7

Таблица 7

(y_{γ j}- ŷ _{γ j})²=0.252

Следовательно дисперсия адекватности σ ² будет рана:

=0.25.

Соответственно расчетное значение критерия Фишера

При 5%-ном уровне значимости и числах степеней свободы для большей дисперсии (числитель) и меньшей дисперсии (знаменатель), табличное значение F_т> 224, 58. Taк кaк F_p< < F_т, то полученная модель адекватна. Для проверки точности модели в других точках факторного пространства используем центр плана: x₁=x₂=0. Расчетное значение выходного параметра в центре плана:

ŷ _{γ 0}=39.5+7.75*0+8*0=39.5=b₀

Экспериментальное значение параметра y_γ в центре плана равно среднеарифметическому значению параметра по результатам пяти параллельных опытов в центре плана y_{γ 0}= =30.2 Тогда разность между b₀ и значением y_γ в центре плана: b₀ - =39.5-30.2=9.3.

Полученную разность сравниваем с ошибкой опыта =+ = = =0.762. Так как разность b₀ - =9.3> =0.762, то полученная модель не высокой точности. Таким образом, для параметра y_γ получили адекватную по F-критерию математическую модель, но не высокой точности в точках факторного пространства близких к центру плана.