Проверка статистических гипотез о законе распределения случайной величины по критериям согласия

2.2.1. Критерий согласия χ ² Пирсона

Критерием согласия χ ² Пирсона называют критерий проверки гипотезы о предполагаемой плотности распределения f (x).

Пусть имеется выборка измерений xⁿ =(x ₁, …, x_n) и требуется проверить гипотезу Н _о, состоящую в том, что непрерывная случайная величина Х имеет закон нормальный распределения (закон Гаусса). В данном случае в качестве гипотезы выступает параметрический закон распределения с плотностью распределения f (x/ ).

Гипотезу Н _о формируют в виде Х є f (x/ ), где – точечная оценка параметра (найденная по методу максимального правдоподобия).

Тогда алгоритм проверки состоит в следующем:

1. Формулируем гипотезу Н _о: случайная величина имеет закон распределения f₀ (x, ₁, …, _r) с r неизвестными параметрами ₁, …, _r.

2. По выборке измерений методом максимального правдоподобия находим точечные оценки неизвестных параметров ₁, …, _r. (например, необходимо найти точечные оценки двух параметров нормального закона m и σ ²).

3. Разбиваем выборку на q интервалов, находим их границы х^j (j = ) и частоты (используем данные статистического ряда).

4. Вычисляем вероятность попадания случайной величины в j -ый интервал по формуле:

, j = .

5. Вычисляется наблюдаемое значение критерия:

.

6. Используя таблицу критических точек распределения χ ² (Приложение 7), по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k=q-r -1, где q – число интервалов (разрядов), а r – число параметров предполагаемого закона, находят критическую точку χ ² _кр (α; k).

Если ( < χ ² _кр), гипотеза Н ₀ принимается;

Если ( χ ² _кр), гипотеза Н ₀ отклоняется.

Показано, что точность выводов повышается, если разряды выбирают с соблюдением условия: каждый разряд содержит не менее пяти реализаций х_{i .}

2.2.2. Критерий согласия Колмогорова

Критерием согласия Колмогорова называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения в виде функции распределения F (x).

Критерий А. Н. Колмогорова применяется для проверки гипотезы о непрерывной функции распределения случайной величины X.

Пусть заранее известно, что функция распределения исследуемой случайной величины X – непрерывная. Выдвинем гипотезу

,

то есть предположение, что функцией распределения случайной величины является выбранная нами из каких-то соображений непрерывная функция F ₀(x).

Требуется принять или отклонить эту гипотезу по реализации случайной выборки независимых измерений X.

Для решения этой задачи введем статистику критерия проверки гипотезы в виде случайной величины:

, (1)

где – статистическая функция распределения.

Реализация t статистики , соответствующая выборке , может быть найдена по формуле

, (2)

где – реализация статистической функции распределения .

Доказано, что (если H – истинна) .

Здесь D – случайная величина, распределенная по известному закону Колмогорова. Для этой величины, используя таблицы или формулы распределения Колмогорова, можно найти из условия:

,

где – вероятность практически невозможного события, и, следовательно, событие – практически невозможное.

Из предыдущих соотношений следует: [ если - истинна] , то есть: [если - истинна] [ - практически невозможно].

Теперь с точностью до принципа практической уверенности можно утверждать, что если гипотеза истинна, то реализации t статистики Т не могут превосходить границы . Далее по закону контрапозиции математической логики находим, что с той же точностью из неравенства следует ложность гипотезы . Итак, с точностью до принципа практической уверенности имеем:

( – истинна) ;

( – ложна).

Из этих соотношений следует, что неравенство необходимо для принятия, а неравенство достаточно для отклонения гипотезы Н (с точностью до принципа практической уверенности).

Руководствуясь этими соображениями, принимают следующее правило решения поставленной задачи:

( – принять);

(3)

( – отклонить);

Правило (3) называют критерием согласия Колмогорова проверки гипотезы о непрерывной функции распределения случайной величины. Алгоритм критерия, очевидно, состоит в следующем:

1. Провести независимые n -кратные измерения случайной величины X с непрерывной функцией распределения и получить выборку .

2. Исключить из выборки грубые ошибки.

3. Построить реализацию статистической функции распределения.

4. Выдвинуть гипотезу F ₀(x) о функции распределения случайной величины X.

5. Вычислить значение параметра t по формуле 2.

6. Задать вероятность практически невозможного события и из таблицы распределения Колмогорова (Прил. 8) найти параметр .

7. Принять или отклонить гипотезу .

Доказано, что критерий А. Н. Колмогорова состоятельный и в общем случае смещенный. Он более чувствителен к различию гипотез, поэтому при прочих равных условиях может применяться для меньших объемов выборки. Поскольку результат проверки критерия t зависит от наибольших различий и F ₀(x), то нет необходимости построения и F ₀(x) на всем диапазоне изменения x; достаточно ограничиться областью наибольших различий и F ₀(x). Недостатком критерия является то, что точность его выводов нарушается, если в формировании гипотезы о F (x) используются характеристики эмпирических распределений, так как в этом случае статистика Т зависит от F (x). Известные неудобства доставляет также значительная трудоемкость построения статистики А. Н. Колмогорова.