Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Проверка статистических гипотез о законе распределения случайной величины по критериям согласия
2.2.1. Критерий согласия χ 2 Пирсона
Критерием согласия χ 2 Пирсона называют критерий проверки гипотезы о предполагаемой плотности распределения f (x). Пусть имеется выборка измерений xn =(x 1, …, xn) и требуется проверить гипотезу Н о, состоящую в том, что непрерывная случайная величина Х имеет закон нормальный распределения (закон Гаусса). В данном случае в качестве гипотезы выступает параметрический закон распределения с плотностью распределения f (x/ ). Гипотезу Н о формируют в виде Х є f (x/ ), где – точечная оценка параметра (найденная по методу максимального правдоподобия). Тогда алгоритм проверки состоит в следующем: 1. Формулируем гипотезу Н о: случайная величина имеет закон распределения f0 (x, 1, …, r) с r неизвестными параметрами 1, …, r. 2. По выборке измерений методом максимального правдоподобия находим точечные оценки неизвестных параметров 1, …, r. (например, необходимо найти точечные оценки двух параметров нормального закона m и σ 2). 3. Разбиваем выборку на q интервалов, находим их границы хj (j = ) и частоты (используем данные статистического ряда). 4. Вычисляем вероятность попадания случайной величины в j -ый интервал по формуле: , j = .
5. Вычисляется наблюдаемое значение критерия: .
6. Используя таблицу критических точек распределения χ 2 (Приложение 7), по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы k=q-r -1, где q – число интервалов (разрядов), а r – число параметров предполагаемого закона, находят критическую точку χ 2 кр (α; k). Если ( < χ 2 кр), гипотеза Н 0 принимается; Если ( χ 2 кр), гипотеза Н 0 отклоняется. Показано, что точность выводов повышается, если разряды выбирают с соблюдением условия: каждый разряд содержит не менее пяти реализаций хi .
2.2.2. Критерий согласия Колмогорова Критерием согласия Колмогорова называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения в виде функции распределения F (x). Критерий А. Н. Колмогорова применяется для проверки гипотезы о непрерывной функции распределения случайной величины X. Пусть заранее известно, что функция распределения исследуемой случайной величины X – непрерывная. Выдвинем гипотезу , то есть предположение, что функцией распределения случайной величины является выбранная нами из каких-то соображений непрерывная функция F 0(x). Требуется принять или отклонить эту гипотезу по реализации случайной выборки независимых измерений X. Для решения этой задачи введем статистику критерия проверки гипотезы в виде случайной величины:
, (1) где – статистическая функция распределения. Реализация t статистики , соответствующая выборке , может быть найдена по формуле , (2) где – реализация статистической функции распределения . Доказано, что (если H – истинна) . Здесь D – случайная величина, распределенная по известному закону Колмогорова. Для этой величины, используя таблицы или формулы распределения Колмогорова, можно найти из условия: , где – вероятность практически невозможного события, и, следовательно, событие – практически невозможное. Из предыдущих соотношений следует: [ если - истинна] , то есть: [если - истинна] [ - практически невозможно]. Теперь с точностью до принципа практической уверенности можно утверждать, что если гипотеза истинна, то реализации t статистики Т не могут превосходить границы . Далее по закону контрапозиции математической логики находим, что с той же точностью из неравенства следует ложность гипотезы . Итак, с точностью до принципа практической уверенности имеем: ( – истинна) ; ( – ложна). Из этих соотношений следует, что неравенство необходимо для принятия, а неравенство достаточно для отклонения гипотезы Н (с точностью до принципа практической уверенности). Руководствуясь этими соображениями, принимают следующее правило решения поставленной задачи: ( – принять); (3) ( – отклонить); Правило (3) называют критерием согласия Колмогорова проверки гипотезы о непрерывной функции распределения случайной величины. Алгоритм критерия, очевидно, состоит в следующем: 1. Провести независимые n -кратные измерения случайной величины X с непрерывной функцией распределения и получить выборку . 2. Исключить из выборки грубые ошибки. 3. Построить реализацию статистической функции распределения. 4. Выдвинуть гипотезу F 0(x) о функции распределения случайной величины X. 5. Вычислить значение параметра t по формуле 2. 6. Задать вероятность практически невозможного события и из таблицы распределения Колмогорова (Прил. 8) найти параметр . 7. Принять или отклонить гипотезу . Доказано, что критерий А. Н. Колмогорова состоятельный и в общем случае смещенный. Он более чувствителен к различию гипотез, поэтому при прочих равных условиях может применяться для меньших объемов выборки. Поскольку результат проверки критерия t зависит от наибольших различий и F 0(x), то нет необходимости построения и F 0(x) на всем диапазоне изменения x; достаточно ограничиться областью наибольших различий и F 0(x). Недостатком критерия является то, что точность его выводов нарушается, если в формировании гипотезы о F (x) используются характеристики эмпирических распределений, так как в этом случае статистика Т зависит от F (x). Известные неудобства доставляет также значительная трудоемкость построения статистики А. Н. Колмогорова.
|