Понятие о переключательных функциях

Функция, принимающая значение из множества {0, 1, ¼, k-1}, аргументы которой принимают значения из этого же множества, называется переключательной функцией (ПФ) или функцией k-значной логики [9].

Это может быть тернарное множество T={0, 1, 2}, или множество Q={0, 1, 2, 3}или другое k-элементное множество.

Такая функция может быть задана таблицей из kⁿ строк, где n – количество аргументов. Например, переключательная функция для n=2 (переменные a, b) и k=3 представлена в табл. 7.

Таблица 7

Некоторая трехзначная переключательная функция

двух переменных

В табл. 7 число строк равно числу размещений с повторениями из тернарного множества по двум местам. Подобные таблицы называются таблицами истинности или соответствия.

Получим номер ПФ в троичной системе счисления: 222111000. Здесь каждый разряд – соответствует степени числа 3: 3²², 3²¹, 3²⁰, 3¹², 3¹¹, 3¹⁰, 3², 3¹, 3⁰. При этом 22, 21, 20, 12, 11, 10, 2, 1, 0 – троичные числа, соответствующие значениям переменных a, b.

Можно получить номер ПФ в десятичной системе счисления:

Здесь степени числа три – 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0.

Если различных двухзначных ПФ , то число различных k-значных ПФ равно .

Выделяется ряд различных элементарных функций [9]:

1) – конъюнкция;

2) – дизъюнкция;

3) – сумма по модулю k – остаток от деления суммы x₁+x₂ на k;

4) – цикл – циклический сдвиг значений;

5) константы 0, 1, 2,..., k-1.

Одноместные функции имеют вид , где – показатель значения переменной: , если , иначе .

Часто таблицы переключательных функций представляют для компактности, как показано в табл. 8-10.

Таблица 8

Трехзначная ПФ «дизъюнкция a, b»

Таблица 9

Трехзначная ПФ «сумма a, b по модулю 3»

Таблица 10

Трехзначная ПФ «a плюс 1 по модулю 3 – циклический сдвиг a»

Функция переключательного типа может быть проиллюстрирована блоком «решение» в схемах алгоритмов [11].