![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Відношення приналежності та включення
Множина – одне з первинних понять у математиці. Будь-яке визначення в дискретній математиці можна вивести за допомогою поняття множини. Під множиною слід розуміти об'єднання в одне ціле об'єктів, що добре розрізнюються інтуїцією або думкою. Термін ”множина” має синоніми – ”сукупність”, “набір”. Об'єкти, які утворюють множину, називаються його елементами. Як правило, множину утворюють елементи однієї природи. Наприклад, числа (натуральні, цілі, дійсні), букви латинського алфавіту. Відношення приналежності. Приналежність об'єкта Відношення включення. Говорять, що множина
при цьому Відношення строгого включення не припускає співпадіння множин й позначається символом Множини рівні
а б Рисунок 1.1 – Відношення включення
Таким чином, відношення приналежності встановлює зв'язок між множиною і його елементами, а відношення включення – між двома множинами. Нестроге включення допускає рівність двох множин. Приклад 1.1. Дано множина
Рисунок 1.2 – Структура множини А із прикладу 1.1
Розв’язок:
1.2 Способи задання множин
Множину можна задати декількома способами, а саме: 1) перерахуванням елементів: 2) використанням характеристичної властивості: M={x | x, що мають властивість Q} або
3) за допомогою процедури, що породжує (породжувальна процедура – операції над множинами) 4) графічно за допомогою діаграм Ейлера (рис. 1.3):
Рисунок 1.3 – Діаграма Ейлера для ілюстрації множини Визначення 1.1. Булеан Визначення 1.2. Потужність множини (кардинальне число) – кількість елементів множини. Потужність множини позначається
Кінцева множина містить кінцеве число елементів. Порожня множина Приклад 1.2. Дано: множина Розв’язок. Потужність множини
Таким чином, булеан множини А складається з порожньої множини, трьох одноелементних підмножин множини А, трьох двоелементних підмножин множини А та самої множини А. Визначення 1.3. Множина А називається власною підмножиною множини В, якщо А є підмножиною множини В, а В не є підмножиною множини A. Порожня множина є підмножиною будь-якої множини.Універсум Uабо універсальну множинуможна розглядати як надмножину всіх множин: Універсум – поняття відносне. Якщо мова йде про множину чисел в арифметиці, множина R дійсних чисел розглядається як універсум U. Якщо мова йде про вузівський захід, то U краще вибрати як множину студентів даного вузу, а не людей міста або країни. У прикладі 1.2 універсумом є множина А як надмножина всіх множин булеана. Порожня множина і сама множина
1.3 Алгебра множин Кантора Визначення 1.4. Алгебра А є сукупністю носія N і сигнатури S: Множини у сукупності з операціями об'єднання Операції над множинами вводяться за такими правилами: 1. Перетинання складається із всіх елементів
2. Об'єднання складається із всіх елементів
3. Доповнення визначається через теоретико-множинну різницю (рис. 1.4, в):
4. Вирахування
Зв’язок з базисними операціями перетинання й різниці встановлюється за формулою:
5. Симетрична різниця
Для симетричної різниці мають місце формули, що встановлюють зв’язок з базисними операціями:
Діаграма Ейлера для симетричної різниці зображено на рис. 1.4, д.
Рисунок 1.4 – Ілюстрація результатів теоретико-множинних операцій на діаграмах Ейлера
1.4 Закони й тотожності алгебри множин
1. Комутативність:
2. Асоціативність:
3. Дистрибутивність (розподільний закон):
4. Ідемпотентність (повторення, тавтологія):
5. Операції з константами (як константи виступають порожня й універсальна множини):
6. Закон виключеного третього:
7. Закон протиріччя:
8. Інволюція:
9. Закон Де Моргана:
10. Елімінація (поглинання):
11. Склеювання:
12. Закони Порецького:
Для об'єднання й перетинання множин справедливі такі формули обчислення потужності:
Порожня й універсальна множини вводяться для замкнутості теоретико-множинних операцій. Це означає, що результат застосування цих операцій є елемент тієї ж природи, що й об'єкти з носія. Таким чином, алгебра множин Кантора замкнута щодо введених операцій.
1.5 Контрольні запитання
1. Як визначається множина? 2.Чи можуть повторюватися елементи множини? 3.Які існують способи задання множин? 4. Чому дорівнює потужність множини? 5. Чим характеризується невласна підмножина? 6.Яка множина є власною? 7. Чи є множина невласною підмножиною самого себе? 8. Коли дві множини є рівними? 9. Які теоретико-множинні операції є базисними? 10. Як визначається пріоритет операцій алгебри Кантора? 11. Чи є поняття потужності множини і його кардинального числа ідентичними? 12. Як формулюються закони й тотожності алгебри множин? 13. Як ілюструються теоретико-множинні операції за допомогою діаграм Ейлера? 14. Яка множина називається булеаном? 15. Яка формула використовується для обчислення потужності булеана? 2 ВІДПОВІДНОСТІ. ФУНКЦІЇ. ВІДОБРАЖЕННЯ
|