![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Декартів (прямий) добуток множин
Поряд з операціями (1.2) – (1.8) впроваджується операція декартова (прямого) добутку множин. Визначення 2.3. Прямий (декартів) добуток двох множин A і B є множина всіх пар
Приклад 2.3. Дано множини Приклад 2.4. Декартів добуток Приклад 2.5. Координатне подання точок площини, що ввів Рене Декарт – французький математик і філософ, – є історично першим прикладом прямого добутку. Множина точок площини Декартів добуток множин не є комутативним: Визначення 2.4. Якщо Визначення 2.5. Прямий добуток n множин є сукупність всіх векторів
Ототожнивши множини в декартовому добутку (2.3), одержимо декартову ступінь множини. Визначення 2.6. Декартів добуток n однакових множин є декартова ступінь:
Декартова ступінь множини поряд з іншими n-мірними векторами містить вектори, що складаються з однакових координат, тобто Потужність декартова добутку визначається як добуток потужностей множин, що входять у нього. Нехай
З формули (2.4) випливає, що потужність декартова ступеня
2.3 Відповідності Визначення 2.7. Відповідністю Запис При цьому Визначення 2.8. Множина всіх елементів Визначення 2.9. Множина всіх елементів Приклад 2.6. Дано множини Відповідності прийнято ілюструвати за допомогою діаграм. Для прикладу 2.6 діаграма наведена на рис. 2.1.
Рисунок 2.1 – Діаграма відповідності Визначення 2.10. Відповідність Приклад 2.6 ілюструє часткову відповідність, тому що Приклад 2.7. Для відповідності
S Рисунок 2.2 – Діаграма відповідності S із прикладу 2.7 Визначення 2.11. Відповідність Приклад 2.8. Для відповідності
Т Рисунок 2.3 – Діаграма відповідності Т із прикладу 2.8 Визначення 2.12. Відповідність
Отже, при ін’єктивній відповідності кожний образ має єдиний прообраз. Це означає, що в діаграмі ін’єктивної відповідності нема збіжних стрілок. Приклад 2.9. Відповідності Приклад 2.10. Відповідність
Р Рисунок 2.4 – Діаграма відповідності Р із прикладу 2.10 Визначення 2.13. Відповідність
Діаграма функціональної відповідності не має розбіжних стрілок. Приклад 2.11. Відповідність Визначення 2.14. Бієктивна (взаємо-однозначна) відповідність – це відповідність, що є всюди визначеною, сур’єктивною, ін’єктивною, функціональною, тобто має всі властивості одночасно. Біекцію (бієктивну або взаємо-однозначну відповідність) можна встановити тільки між множинами однакових потужностей. Приклад 2.12. Для відповідності
Рисунок 2.5 – Діаграма відповідності Приклад 2.13. Розглядається відповідність
Рисунок 2.6 – Ілюстрація відповідності до прикладу 2.13
2.4 Функції. Відображення Визначення 2.15. Функцією називається функціональна відповідність
де х – аргумент; у – значення функції на елементі х. Визначення 2.16. Відображенням множини Приклад 2.14. Відповідність Рисунок 2.7 – Приклад функції і відображення Визначення 2.17. Якщо для відповідності
Визначення 2.18. Зворотною функцією Приклад 2.15. Різні види кодування (кодування букв абеткою Морзе, подання чисел у різних системах числення, секретні шифри, вхідні та вихідні номери в діловій переписці) є відповідностями між кодованими об’єктами й кодами, що привласнюються їм. Ці відповідності, як правило, мають всі властивості взаємо-однозначної відповідності, крім сур’єктивності. Єдиність образу й прообразу в кодуванні гарантує однозначність шифрування й дешифрування. Відсутність сур’єктивності означає, що не кожний код має сенс. Наприклад, кодування телефонів сьомизначними номерами не є сур’єктивним, оскільки деякі номери не відповідають ніяким телефонам. Для кодувальної функції, що кожному об'єкту зі своєї області значень ставить у відповідність деякий код, зворотною буде декодувальна функція, що кожному коду ставить у відповідність закодований цим кодом об’єкт. Якщо кодувальна функція, не є сур’єктивною, то декодувальна функція не всюди визначена. Визначення 2.19. Нехай дані функції Приклад 2.16. Розглядається триелементна множина Приклад 2.17. При діагностуванні мікросхем напівпровідникової пам’яті роботу дешифратора адреса можна подати у вигляді графа адресної дешифрації, що показує відповідність між адресами й елементами пам’яті. При правильній роботі спостерігається взаємо-однозначна відповідність між призначеною адресою ліворуч і місцем елемента праворуч (рис. 2.8, а). При несправності дешифратора спостерігається порушення взаємо-однозначної відповідності в графі адресної дешифрації (рис. 2.8, б).
а б Рисунок 2.8 – Граф адресної дешифрації: а – випадок справної схеми; б – випадок з несправністю
2.5 Контрольні запитання
1. Чи можуть повторюватися елементи вектора? 2. Як визначається довжина вектора? 3. Як визначається декартів добуток двох множин? 4. Як визначається декартів добуток 5. Що є елементами декартова добутку двох множин? 6. Що є об'єктами декартова добутку 7. Як визначається вектор? 8. Як визначається довжина (розмірність) вектора? 9. Чому дорівнює потужність декартова добутку 10. Чи є декартів добуток множин комутативним? 11. Що являє собою декартовий ступінь? 12. Чи правильно: 13. Що таке відповідність? 14. Що називається проекцією вектора на
3 ВІДНОШЕННЯ. АЛГЕБРА ВІДНОШЕНЬ
|