Решение. Примеры решения задач типового расчета

Примеры решения задач типового расчета

Пример 1. Найдите производную данных функций:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Решение.

а) Данная функция – сложная, воспользуемся последовательно формулами: производная дроби, производная степенной функции:

.

Ответ: .

б) Данная функция – сложная, воспользуемся последовательно формулами: производная логарифма, производная синуса, производная степенной функции.

.

Ответ: .

в) Преобразуем квадратный корень в степень:

.

Данная функция – сложная, воспользуемся последовательно формулами: производная степенной функции, производная дроби, производная логарифма.

= =

= = .

Ответ: .

г) Данная функция относится к виду показательно-степенной функции . Для нахождения ее производной прологарифмируем данную функцию:

.

Дифференцируем левую и правую часть этого равенства, при этом в левой части используем производную сложной функции, а в правой – производную произведения:

.

Решаем полученное уравнение относительно :

.

Заменяя , получим

.

Ответ: .

д) Данная функция задана неявно. Находим производную от левой части равенства, рассматривая при этом у как функцию от х. ;

;

;

.

Затем из полученного равенства выражаем искомую производную

.

Ответ: .

е) Данная функция задана параметрически. Производная данной функции находится по формуле . Продифференцируем по переменной t:

,

.

Тогда .

Ответ: .

Пример 2. Составьте формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для функции в точке .