Решение. Наибольшее и наименьшее значение на отрезке функция может достигать:

Наибольшее и наименьшее значение на отрезке функция может достигать:

1) в критических точках, если они существуют и принадлежат ;

2) на концах отрезка (т.е. при или ).

1. Найдем критические точки. Для этого найдем и решим уравнение .

;

; ; , ; .

2. Найдем и выберем из них наибольшее и наименьшее значения:

;

;

.

Ответ: – наибольшее значение функции на ;

– наименьшее значение функции на .

Пример 4. Провести полное исследование функции и построить ее график.

а) .

Решение:

1. Область определения.

Исключим точку, в которой знаменатель дроби , т. е. .

Таким образом, .

2. Четность, нечетность, периодичность функции.

Þ , .

Следовательно, данная функция не является ни четной, ни нечетной.

Так как в состав функции не входят периодические функции, то непериодическая.

3. Непрерывность.

Так как заданная функция является элементарной, то она непрерывна на своей области определения. Единственной точкой, в которой функция не существует, является точка .

Исследуем характер разрыва функции в этой точке.

;

.

Т.к. и левый, и правый пределы не являются конечными, то точка есть точка разрыва 2-го рода.

4. Асимптоты.

а) При функция терпит разрыв 2-го рода, значит прямая вертикальная асимптота.

б) Найдем наклонные асимптоты:

;

.

Прямая наклонная асимптота.

5. Нули функции и интервалы знакопостоянства.

Функция обращается в нуль при . Разобьем всю числовую прямую на интервалы точками , и определим интервалы знакопостоянства функции:

	–	+	+

Функция отрицательна на интервале и положительна на интервалах .

6. Интервалы монотонности и экстремумы.

Найдем критические точки.

;

, если критические точки.

не существует при , но эта точка не является критической, потому что функция в ней не определена.

Разобьем всю числовую прямую на интервалы точками , и , и определим знак производной на этих интервалах:

	(–¥, –6)	–6	(–6, –3)	–3	(–3, 0)		(0, +¥)
	+		–	не сущ	–		+
		–12 max		точка разрыва		min

Функция возрастает в интервалах (–¥, –6) и (0, +¥), убывает в интервалах
(–6, –3) и (–3, 0), – максимум функции, – минимум функции.

7. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Найдем точки перегиба:

, Þ .

Следовательно, в точек перегиба нет. Исследуем выпуклость и вогнутость графика слева и справа от точки разрыва . Для этого определим интервалы знакопостоянства второй производной :

	(–¥, –3)	–3	(–3, +¥)
	–	не сущ	+
	выпукла	не сущ	вогнута

8. Построение графика (см. рис. 31).

9. Область значений. На основании построенного графика получаем, что .

б) .