ТЕОРЕМА 4.11 (Коши). Пусть функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на и при любом из . Тогда внутри найдется точка такая, что

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим вспомогательную функцию такую, что . Заметим, что , так как в противном случае по теореме Ролля внутри нашлась бы точка такая, что , а это противоречит условию при любом из теоремы Коши. Как и при доказательстве теоремы Ролля легко убедиться, что функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. (Сделать это самостоятельно). Значит внутри найдется точка такая, что или , откуда и следует формула Коши.

Замечание 3. Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши, когда .

Замечание 4. Неверно было бы доказать теорему Коши следующим образом. Для функций и при условиях теоремы Коши справедлива теорема Лагранжа. Значит, внутри найдется такая точка , что и . Поделив первое равенство на второе, получим формулу Коши. Где ошибка?