Тогда .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доопределим по непрерывности функции и в точке , положив . Тогда функции и будут непрерывны на отрезке . Выберем внутри произвольно точку и применим к отрезку теорему Коши для функций и . Получим, что внутри найдется точка такая, что . Учитывая, что , эта формула примет вид .

Перейдем в этом равенстве к пределу при . При этом учтем, что если , то и .

.

Доказанная теорема позволяет заменить предел отношения функций пределом отношения их производных, если последний существует. Часто оказывается, что нахождение предела отношения производных проще и может быть осуществлено элементарными способами.

Например, .

ТЕОРЕМА 4.13. Пусть функции и , определенные на , где > 0, удовлетворяют следующим условиям:

1)

2) функции и непрерывны на ;

3) и дифференцируемы на и ;