Свойства ортогональных и унитарных матриц

ГЛАВА 7. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Некоторые сведения о матрицах

Ортогональные и унитарные матрицы

Определение. Комплексная квадратная матрица А называется унитарной, если . Множество всех унитарных матриц n -го порядка будем обозначать .

Следствия. 1. Модуль определителя унитарной матрицы равен 1.

► Из определения следует: , значит, .◄

2. .

В силу равносильности любое из этих равенств может служить определением унитарной матрицы.

Определение. Действительная квадратная матрица называется ортогональной, если . Множество всех ортогональных матриц n -го порядка будем обозначать .

Следствия. 1. .

2. Определитель ортогональной матрицы равен 1 или –1.

3. .

Каждое из этих равенств опять же может служить определением ортогональной матрицы.

Свойства ортогональных и унитарных матриц

1º. . 1'. .

2º. . 2'. .

3º. . 3'. .

► Докажем, например, первое свойство для унитарных матриц (для ортогональных доказательство отличается только тем, что отсутствует комплексное сопряжение).

.◄

Теорема 7.1 о матрице перехода. Пусть в евклидовом пространстве заданы: ортонормированный базис

(7.1)

и ещё какой-либо базис

. (7.2)

Для того чтобы базис (7.2) был ортонормированным, необходимо и достаточно, чтобы матрица Т перехода от (7.1) к (7.2) была унитарной для комплексного евклидова пространства, и ортогональной для действительного.

► Доказательство проводим для комплексного случая. Если и – матрицы Грама базисов (7.1) и (7.2) соответственно, то и . Тогда

{(7.2) – ортонормированный} .◄