Симметричного и ортогонального

Теорема 7.14. Пусть – действительное евклидово пространство. Для любого невырожденного линейного оператора существуют симметричный и ортогональный операторы такие, что .

► Рассмотрим линейный оператор . Так как , то оператор симметричный. Если – собственное значение оператора , а – соответствующий ему собственный вектор, то . С другой стороны, . Итак, , откуда вытекает, что . На самом деле, в силу невырожденности , . Как и для любого симметричного оператора, для в существует ортонормированный базис

, (7.25)

в котором матрица оператора имеет диагональный вид

,

причем , и не обязательно различные. Обозначим тот линейный оператор, который в базисе (7.25) имеет матрицу

.

Так как , то . Очевидно, оператор – симметричный и невырожденный, поэтому существует обратный ему линейный оператор , также симметричный (его матрица в базисе (7.25) – это

,

она тоже симметрична). Положим

. (7.26)

Учитывая, что [симметрия ] = , делаем вывод, что – ортогональный оператор. Теперь из (7.26) получаем . ◄

Можно доказать, что эта теорема справедлива и для вырожденных линейных операторов.

Следствие. Любая действительная квадратная матрица может быть представлена в виде произведения ортогональной и симметричной матриц.