к каноническому виду

Пусть и – квадратичные формы на действительном линейном пространстве , причем положительно определена. Выберем в какой-либо базис

, (7.28)

и обозначим и матрицы форм и соответственно в этом базисе. В пространстве скалярное произведение зададим с помощью симметричной билинейной формы, соответствующей квадратичной форме . Это значит, линейное пространство превращается в евклидово , а матрица Грама базиса (7.28) совпадает с . Как и во всяком евклидовом пространстве, в существует ортонормированный базис

. (7.29)

Если – матрица Грама базиса (7.28), а – матрица квадратичной формы в этом базисе, то , . В силу ортонормированности базиса (7.29) , значит, , откуда получаем, что

.

Согласно теореме 7.7, в существует ортонормированный базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид. Чтобы найти этот канонический вид, следует решить характеристическое уравнение

(7.30)

а чтобы найти векторы искомого базиса, следует для каждого собственного значения решить систему линейных уравнений

, (7.31)

где – координатный столбец искомого собственного вектора в базисе (7.29). Но

{(7.30)} { } { }

{ },

откуда вытекает, что (7.30) равносильно уравнению

. (7.32)

Система же (7.31) преобразуется так: {(7.31)} { }

{ } { }. Если – координатный столбец искомого собственного вектора в базисе (7.28), то , значит, система (7.31) равносильна следующей:

. (7.33)

Таким образом, диагональные элементы матрицы – это корни уравнения (7.32), а векторы искомого базиса – это решения системы линейных уравнений (7.33) для каждого из найденных значений .

Из вышесказанного получаем следующее правило одновременного приведения пары квадратичных форм к каноническому виду:

1. Выписываем матрицы квадратичных форм и определяем, какая из них положительно определена. Матрицу положительно определенной квадратичной формы обозначаем , а оставшуюся – .

2. Составляем уравнение (7.32), которое также называется характеристическим, и находим его корни . Записываем канонический вид каждой из квадратичных форм: будет иметь нормальный вид, а коэффициенты канонического вида формы совпадают с найденными собственными значениями .

3. Находим ортогональный базис, решая систему линейных уравнений (7.33) при каждом из найденных собственных значений .

4. Нормируем каждый вектор (скалярное произведение задано формой !).

5. Составляем матрицу перехода от исходного базиса к ортонормированному базису из собственных векторов и по ней записываем линейное невырожденное преобразование переменных .

Пример. Приведем одновременно к каноническому виду квадратичные формы

и .

▼ 1. Записываем матрицы обеих квадратичных форм:

, .

Исследуем на знакоопределенность форму по критерию Сильвестра: . Итак, положительно определена форма . Значит,

, .

2.

.

Записываем характеристическое уравнение и находим его корни:

Канонический вид квадратичной формы , а формы .

3.

:

4.

5. ;