Сопряженный линейный оператор

Лемма. 7.1. Пусть и – линейные операторы. Если для всех векторов евклидова пространства выполняется одно из условий или , то .

►

(объясните каждый шаг в цепочке рассуждений). Второе утверждение доказывается аналогично.◄

Определение. Линейный оператор называется сопряженным линейному оператору , если

.

Теорема 7.2. Для любого линейного оператора существует единственный сопряженный ему оператор . При этом если А – матрица оператора в некотором ортонормированном базисе пространства , то матрица оператора в том же базисе совпадает с матрицей .

► Доказываем теорему так же, как в свое время доказывали аналогичную теорему для обратного линейного оператора. Все доказательства проводим для комплексного пространства. Для действительного доказательство изменится только тем, что не будет комплексного сопряжения.

Единственность. Предположим, что некоторый линейный оператор имеет два сопряженных: и . Так как

и ,

то на основании доказанной леммы 7.1 = .

Существование. Выберем в какой-либо ортонормированный базис

(7.3)

и обозначим А матрицу оператора в этом базисе. Значит, существует линейный оператор , матрица которого в базисе (7.3) совпадает с матрицей . Выберем теперь произвольные векторы и обозначим и соответственно их координатные столбцы в базисе (7.3). В том же базисе координатные столбцы векторов и совпадают соответственно со столбцами и . На основании правила вычисления скалярного произведения в ортонормированном базисе получаем

.

Таким образом, = на основании леммы 7.1.◄

Упражнение. Пусть оператор в двух базисах пространства имеет матрицы и соответственно. Докажите: если матрица линейного оператора в первом из этих базисов совпадает с , то во втором матрица этого оператора совпадает с .