Метод Крамера (определителей) решения систем линейных уравнений

Правило (метод) Крамера применяется к системам, у которых число уравнений равно числу неизвестных , т.е. .

Случай 1. Число уравнений и неизвестных

Рассмотрим систему линейных уравнений

Вычисляются определители:

_, , .

1. Если , то система имеет единственное решение

.

2. Если , а хотя бы один из определителей , отличен от нуля, то система не имеет решений.

3. Если , то система имеет бесконечно много решений.

Пример 1. Решить с помощью метода Крамера систему уравнений

Решение. , поэтому СЛУ имеет единственное решение.

, .

Тогда ; .

Пример 2. Решить с помощью метода Крамера систему уравнений: .

Решение. Определитель системы равен нулю: , но один из вспомогательных определителей не равен нулю: , значит, СЛУ не имеет решений.

Пример 3. Решить с помощью метода Крамера систему уравнений

, , .

Поэтому система имеет бесконечно много решений.

Разделив коэффициенты 2-го уравнения на 3, получим: Оставим только одно из этих уравнений: . Выразим через : , значение - любое. Это и есть ответ. Придавая различные значения, будем получать бесконечное множество частных решений. Например, при получим и первое решение . При получим и второе решение , и так далее.

Случай 2. Число уравнений и неизвестных

Рассматривается СЛУ

Вычисляются определители:

, ,

, .

1. Если , то система имеет единственное решение

, .

2. Если , а хотя бы один из определителей , , отличен от нуля, то система не имеет решений.

3. Если , то система имеет бесконечно много решений.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений .

Решение. Составим определитель из коэффициентов при неизвестных и вычислим его:

, значит, СЛУ имеет единственное решение. Найдем вспомогательные определители и значения неизвестных.

Ответ: .

Рассмотрим пример, в котором СЛУ имеет бесконечное множество решений, и они будут найдены с применением формул Крамера.

Пример 5. Решить СЛУ.

Решение.

Вычислим определитель системы:

Заметим, что третье уравнение системы равно сумме первых двух уравнений, т.е. зависит от первых двух уравнений. Отбросив третье уравнение, получим равносильную систему двух уравнений с тремя неизвестными:

Оставим в левой части системы те неизвестные, коэффициенты при которых образуют определитель, не равный нулю, например, . Неизвестное является свободным, а неизвестные и - базисными неизвестными. Запишем систему в виде и применим к ней правило Крамера:

;

- общее решение неопределенной СЛУ, где - любое действительное число.

Из общего решения можно получить частные решения, если придать свободной неизвестной какое-то конкретное значение. Например, пусть , тогда ; частное решение .