Лекция 6. Р5.Т4 Работы Сади Карно 0.5 часа

В связи с этим возникает весьма важный с теоретической и практической точек зрения вопрос о нахождении максимально возможного термического КПД тепловой машины, работающей при наличии двух источников тепла (теплоотдатчика и теплоприёмника), и о принципах её конструирования. Эта проблема была решена в 1824 году французским инженером Сади Карно в опубликованной им работе " Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развить эту силу".

В своём знаменитом сочинении Сади Карно обсудил принципы и предложил конструкцию теплового двигателя, который, по его мнению, должен обладать максимальной эффективностью преобразования теплоты в полезную работу. В современном изложении его рассуждения сводятся к следующему: в идеальной тепловой машине все необратимости должны быть сведены к минимуму, т.е. исключены. Это возможно, если все трущиеся поверхности идеально смазаны, скорости движения рабочего тела настолько малы, что можно пренебречь внутренним трением (вязкостью), необратимые химические реакции отсутствуют, передача тепла от верхнего источника рабочему телу происходит при температуре рабочего тела мè ньшей, но бесконечно близкой к температуре источника тепла, а передача тепла от рабочего тела к теплоприёмнику происходит при температуре рабочего тела бò льшей, но бесконечно близкой к температуре нижнего источника тепла. Очевидно, что изменение температуры рабочего тела, для исключения необратимого теплообмена, должно происходить только адиабатически. Таким образом, приходим к идеальному циклу тепловой машины, работающей между двумя источниками тепла (теплоотдатчиком и теплоприёмником), известному под названием цикла Карно и состоящему из двух изотерм подвода и отвода тепла и двух адиабат. Относительно цикла Карно формулируются два утверждения, называемые теоремами Карно:

I теорема Карно – термический КПД цикла Карно максимален по сравнению с термическим КПД любой другой тепловой машины, работающей в том же интервале температур; это следует из того, что все процессы в машине Карно обратимы, т.е. в ней отсутствует диссипация энергии.

II теорема Карно – термический КПД цикла Карно не зависит от свойств рабочего тела, а зависит только от значений температур верхнего и нижнего источников теплоты. Мы не будем подробно доказывать эту теорему, укажем лишь, что если бы КПД цикла Карно зависел от свойств рабочего тела, то можно было бы передавать теплоту от холодного тела к более нагретому без затраты внешней работы, т.е. нарушался бы второй закон термодинамики в формулировке Клаузиуса.

4.7. Термический КПД цикла Карно Первая теорема Карно позволяет вычислить термический коэффициент полезного действия машины Карно, взяв в качестве рабочего тела идеальный газ. В координатах цикл такого двигателя, состоящий из двух изотерм и двух адиабат, показан на рис.4.2.

Здесь процесс 1–2 есть адиабатическое расширение со снижением температуры рабочего тела от температуры T ₁ верхнего источника теплоты до температуры T ₂ нижнего источника, 2–3 – изотермическое сжатие с отводом теплоты нижнему источнику с постоянной температурой T ₂, 3–4 – адиабатическое сжатие с повышением температуры от T ₂ до T ₁, 4–1 – изотермическое расширение с подводом теплоты к рабочему телу при

Используя результаты расчета изотермического и адиабатического процессов идеального газа, находим термический КПД этого цикла:

(4.9)

С другой стороны, для двух адиабатных процессов 1–2 и 3–4 имеем

Таким образом, термический КПД цикла Карно для идеального газа, а значит, и для любого другого рабочего тела, определяется следующим выражением:

(4.10)

Полученная формула является чрезвычайно важной для анализа работы любого теплового двигателя, а также во многих других отраслях теоретической науки – от биофизики до космологии, т.к. она определяет верхний предел совершенствования эффективности превращения теплоты в работу, т.е. неупорядоченной формы движения материи, каковой является теплота, в упорядоченную форму, например, механическое перемещение, электроэнергия и др.

Из определения термического КПД теплового двигателя (4.6) и выражения (4.10) для термического КПД цикла Карно получаем

(4.11)

Отношение количества теплоты в изотермическом процессе к абсолютной температуре этого процесса было названо Р.Клаузиусом приведенным теплом. Таким образом, в отношении цикла Карно можно сказать, что сумма приведённых теплот для него равна нулю.

Рассмотрим произвольный обратимый цикл некоторого теплового двигателя, изображённый на рис.4.3. Его можно осуществить только в случае, если количество верхних и нижних источников тепла достаточно велико (в пределе бесконечно велико).

Разобьём мысленно этот цикл системой близких (в пределе бесконечно близких) адиабат и изотерм. Тогда произвольный цикл можно представить набором достаточно узких (в пределе бесконечно узких) циклов Карно, работающих при различных температурах верхних и нижних источников тепла.

Для узкого цикла Карно имеем на основании (4.11)

Суммируя это равенство по всем N узким циклам Карно, получим

Переобозначив индексы, эту сумму можно переписать в виде

В пределе эта сумма преобразуется в интеграл по замкнутому контуру (циклу)

(4.12)

Этот результат носит название интеграла Клаузиуса.

Как известно из математики, тождественное равенство нулю интеграла по произвольному замкнутому контуру (4.12) говорит о том, что стоящий под знаком интеграла дифференциал является полным, т.е. можно записать

(4.13)

С физической точки зрения тот факт, что дифференциал некоторой функции является полным, говорит о том, что сама функция есть свойство системы, функция её состояния, т.е. её значение может быть вычислено или измерено в данном состоянии системы, зависит только от параметров состояния и не зависит от пути, которым данное состояние было достигнуто. По предложению Р. Клаузиуса, функция , или , или была названа энтропией. Таким образом, любая термодинамическая система, любое макроскопическое тело, кроме уже известных термодинамических параметров , обладает ещё одной функцией состояния – энтропией, которая, как следует из (4.13), позволяет записать выражение для количества теплоты в виде, подобном записи выражения для работы, т.е. как произведение некоторого потенциала на изменение " координаты" (" заряда"):

(4.14)

Так же как и количество теплоты, энтропия обладает свойством аддитивности, поэтому можно ввести в рассмотрение удельную энтропию s таким образом, что

(4.15)

Размерность энтропии, как это следует из (4.13), совпадает с размерностью теплоёмкости, однако по смыслу теплоёмкость и энтропия не совпадают. Выяснение физического смысла энтропии выходит за рамки термодинамики; мы обсудим этот вопрос ниже.