Неравенство Клаузиуса.Математическое выражение второго начала термодинамики

Помимо цикла Карно, работающего в интервале температур верхнего источника тепла T ₁ и нижнего источника тепла T ₂ и имеющего, как мы выяснили, максимально возможный в данном интервале температур термический КПД, рассмотрим какой-либо другой цикл, функционирующий в том же интервале температур. Как следует из первой теоремы Карно, термический КПД такого цикла заведомо будет ниже термического КПД цикла Карно, а сам цикл заведомо будет необратимым. Имеем тогда неравенство

откуда следует, что сумма приведённых теплот для необратимого цикла отрицательна:

(4.16)

Рассуждая аналогично тому, как мы это делали при выводе интеграла Клаузиуса (4.12), т.е. рассматривая произвольный необратимый цикл и разбивая его мысленно множеством адиабат на большое (в пределе бесконечное) число циклов с различными значениями температур верхних и нижних источников тепла, получим неравенство Клаузиуса

(4.17)

Ноль в правой части этого неравенства есть не что иное, как интеграл по замкнутому контуру от дифференциала энтропии для обратимого цикла, т.е.

откуда, ввиду произвольности контура интегрирования, получаем

(4.18)

Это неравенство говорит о том, что изменение энтропии вещества в любом необратимом процессе всегда больше приведённой теплоты этого процесса. Для конечного процесса будем иметь

(4.19)

Результаты (4.13) и (4.18) можно объединить в одной записи, которую можно считать математической формулировкой второго начала термодинамики:

(4.20)

Здесь знак (=) относится к обратимым процессам, а знак (>) – к необратимым.

Существование энтропии или, что то же самое, невозможность построения вечного двигателя второго рода, говорит о том, что дифференциальная форма для количества тепла

где представляет в общем случае сумму всех известных на настоящее время видов работ, не будучи полным дифференциалом, обладает тем не менее интегрирующим множителем, равным .