Несобственные интегралы

Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрывных (неограниченных) функций называются несобственными. Несобственные интегралы I рода - это интегралы на бесконечном промежутке, определяемые следующим образом:

. (8.7)

Если этот предел существует и конечен, то называется сходящимся несобственным интегралом от f(x) на интервале [а, +¥), а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [а, +¥). В противном случае про интеграл говорят, что он не существует, или расходится.

Аналогично определяются несобственные интегралы на интервалах
(-¥, b] и (-¥, +¥):

.

Определим понятие интеграла от неограниченной функции. Если f(x) непрерывна для всех значений x отрезка [a, b], кроме точки с, в которой f(x) имеет бесконечный разрыв, то несобственным интегралом II рода от f(x) в пределах от a до b называется сумма:

,

если эти пределы существуют и конечны. Обозначение:

= . (8.8)

Пример 3.29. Вычислить ò dx/(x+2).

Решение. Обозначим t=x+2, тогда dx=dt, ò dx/(x+2) = ò dt/t = lnï tï +C =
= lnï x+2ï +C.

Пример 3.30. Найти ò tg x dx.

Решение. ò tg x dx = ò sin x/cos x dx = - ò d(cos x)/ cos x. Пусть t=cos x, тогда ò tg x dx = - ò dt/t = - lnï tï +C = - lnï cos xï +C.

Пример 3.31. Найти ò dx/sin x.

Решение.

Пример 3.32. Найти .

Решение. =

Пример 3.33. Найти ò arctg x dx.

Решение. Обозначим u=arctg x, dv=dx. Тогда du = dx/(x²+1), v=x, откуда ò arctg x dx = x arctg x - ò x dx/(x²+1) = x arctg x + 1/2 ln(x²+1) +C; так как
ò x dx/(x²+1) = 1/2 ò d(x²+1)/(x²+1) = 1/2 ln(x²+1) +C.

Пример 3.34. Вычислить ò ln x dx.

Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, получим:
u=ln x, dv=dx, du= 1/x dx, v=x. Тогда ò ln x dx = x lnx - ò x 1/x dx =
= x lnx - ò dx = x lnx - x + C.

Пример 3.35. Вычислить ò e^x sin x dx.

Решение. Обозначим u = e^x, dv = sin x dx, тогда du = e^x dx, v=ò sin x dx= - cos x Þ ò e^x sin x dx = - e^x cos x + ò e^x cos x dx. Интеграл ò e^x cos x dx также интегрируем по частям: u = e^x, dv = cos x dx Þ du=e^xdx, v=sin x. Имеем: ò e^x cos x dx = e^x sin x - ò e^x sin x dx. Получили соотношение ò e^x sin x dx = - e^x cos x + e^x sin x - ò e^x sin x dx, откуда 2 ò e^x sin x dx = - e^x cos x + e^x sin x + С.

Пример 3.36. Вычислить J = ò cos(ln x)dx/x.

Решение. Так как dx/x = d(ln x), то J= ò cos(ln x)d(ln x). Заменяя ln x через t, приходим к табличному интегралу J = ò cos t dt = sin t + C = sin(ln x) + C.

Пример 3.37. Вычислить J = .

Решение. Учитывая, что = d(ln x), производим подстановку ln x = t. Тогда J = .

Пример 3.38. Вычислить интеграл J = .

Решение. Имеем: . Поэтому =
=
= .

Пример 3.39. Можно ли применить формулу Ньютона-Лейбница к интегралу ?

Решение. Нет, нельзя. Если формально вычислять этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, то получим неверный результат. Действительно, = .

Но подынтегральная функция f(x) = > 0 и, следовательно, интеграл не может равняться отрицательному числу. Суть дела заключается в том, что подынтегральная функция f(x) = имеет бесконечный разрыв в точке x = 4, принадлежащей промежутку интегрирования. Следовательно, здесь формула Ньютона-Лейбница неприменима.

Пример 3.40. Вычислить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция определена и непрерывна при всех значениях х и, следовательно, имеет первообразную F(x)= .

По определению имеем: = .

По формуле Ньютона-Лейбница,

= F(b) - F(0) = + = ;

= = .

Пример 3.44. ( Из экономики ). П ри анализе непрерывных потоков платежей предполагалось, что годовая сумма ренты R равномерно распределяется на протяжении года. На практике, особенно в инвестиционных процессах, этот поток может существенно изменяться во времени, следуя какому-либо закону. Если этот поток непрерывен и описывается некоторой функцией
R _t = f (t), то общая сумма поступлений за время n равна .

В этом случае наращенная по непрерывной ставке за период от 0 до n сумма составит:

S = .

Современная величина такого потока равна

A = .

Пусть функция потока платежей является линейной: R_t = R_o + at, где
R_o - начальная величина платежа, выплачиваемого за единицу времени, в которой измеряется срок ренты. Вычислим современную величину A, пользуясь правилами интегрирования определенного интеграла:

A = = + .

Обозначим A₁ = , A₂ = .

Имеем: A₁ = = - R_o/d ê = - R_o/d( -e^o) = - R_o/d( -1) =
= R_o( -1)/d. A₂ = . Вычислим неопределенный интеграл
по частям: u = t, dv = dt Þ du = dt, v = = - /d, тогда = - t /d + 1/d = - t /d (t+1/d) +C. Следовательно,
A₂ = -a t /d (t+1/d)ê = ((1- )/d - n )a/d.

Итак, исходный интеграл

A = A₁ + A₂ = R_o( -1)/d + ((1- )/d - n )a/d.