Статистическое (частотное) определение вероятности. Теорема сложения вероятностей

В этом разделе мы начнем применять на практике математический аппарат теории вероятностей для оценки вероятности наступления интересующего нас случайного события, которое, в свою очередь, является некоторой комбинацией других случайных событий.

Классическое определение вероятности Р(А) события А как отношения числа благоприятных элементарных исходов m к числу всех элементарных исходов n предполагает, что все элементарные исходы равновероятны. Однако, это условие далеко не всегда выполняется, поэтому мы сейчас введем еще одно определение вероятности - статистическое (или частотное). Как оценить вероятность интересующего нас события, если в процессе испытания элементарные исходы вовсе не обязаны быть равновероятными? Строго говоря, необходимо было бы много раз проделать интересующий нас опыт и узнать частоту реализации различных элементарных исходов. В пределе, при увеличении числа испытаний, отношение числа m реализованных событий А к общему количеству испытаний n и будет определять вероятность Р(А)=m/n. Важно понимать, что статистический подход не противоречит классическому, а лишь расширяет границы возможного применения аппарата теории вероятностей. Поэтому все приемы, которые Вы уже освоили в рамках классической схемы, можно будет использовать и в дальнейшем. Для решения практических задач нам понадобятся следующие важные теоремы.

1. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий:

P(A + B) = P(A) + P(B) - вероятность наступления в результате эксперимента хотя бы одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Обсуждение. Напомним, что события А и В называются несовместными, если в результате опыта они не могут появиться вместе. (Пожалуйста, не путайте их с независимыми событиями, которые мы обсуждали в прошлом разделе. Независимые события могут спокойно сосуществовать друг с другом.)

Пример. По статистике, в прошлом году 10% жителей нашего города встретили Новый год в отъезде, 40% ходили в гости или в ресторан, оставаясь в городе, остальные встречали Новый год дома. Считая, что эта тенденция сохранится, посчитайте вероятность того, что житель нашего города встретит Новый год дома.

Решение: здесь можно смело пользоваться теоремой сложения вероятностей, т.к. события встречи Нового года в разных местах одним и тем же человеком - несовместны. Поэтому все, кто встретит Новый год в гостях или в другом городе (они составят вместе 40%+10%), не смогут встретить его дома. Принимая общее число жителей города за 100%, найдем, что 50% оставалось дома в прошлый раз. Полагая, что эти же пропорции сохранятся и в этом году, найдем, что вероятность встретить Новый год дома для жителя нашего города равна Р=0, 5. (Заметим, что в данном случае нам было удобно посчитать сначала вероятность обратного события, а потом вычесть результат из 100%.)

Что произойдет, с нашими оценками, если исходные события не являются несовместными? Давайте немного изменим предыдущий пример.

Пример. Владелец фирмы частных такси хочет сделать прогноз количества клиентов на новогоднюю ночь. Пусть, по его сведениям, в прошлом году Новый год встретили дома 50%, в компании друзей или родственников, но не выезжая из города - 80%, в отъезде были 10%. Почему у него получилось в сумме больше 100%?

Видимо, каких-то жителей он посчитал больше одного раза. Скорее всего, тех, кто сидел дома, но, одновременно, принимал друзей или родственников, которые пришли к нему в гости. Поскольку эти события не являются несовместными, просто складывая вероятности, он завышает свои оценки.

Впрочем, это относится не только к оценке вероятности события, но и к решению любых задач на подсчет элементов объединения двух множеств путем сложения. Если множества частично перекрываются, сумма их элементов будет больше, чем реальное количество элементов, поскольку при арифметическом сложении элементы этого " перекрытия" мы невольно посчитали дважды, и как входящие в первое множество, и как входящие во второе. Выход здесь один: мы должны заметить, что множества частично " перекрываются", посчитать число элементов в их общей части и вычесть это число из суммы (т.к. при суммировании мы его посчитали дважды).

В случае подсчета вероятности события С, которое наступает или при наступлении события А, или при наступлении события В, если А и В не являются несовместными, можно воспользоваться следующей теоремой:

2. Общая теорема сложения вероятностей: Р(С)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ), где Р(АВ) - вероятность одновременного наступления и события А, и события В.

Вопросы для самопроверки

1. Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна. Какова вероятность того, что будет вынута пика или дама?

2. На полке стоят 15 книг, из них пять в переплете. Наудачу берут три книги. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых книг в переплете (событие А).